《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.4 分块矩阵

第三章矩阵的运算 §3.4分块矩阵 分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 三、分块对角矩阵

第三章 矩阵的运算 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、分块对角矩阵 §3.4 分块矩阵

第三章矩阵的运算 、 分块矩阵的概念 定义设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一 些线，把这个矩阵分成若干小块。用这种方法被分 成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵每一小块称 为A的子块，每一个分块的方法叫做A一种分法。 411 412 L13 014 15 例如 A- a21 2 L23 L24 05 031 032 33 L34 l35 a 42 L43 044 45 则A可记作 A= A

第三章 矩阵的运算 一、分块矩阵的概念 定义 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一 些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种方法被分 成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵.每一小块称 为A的子块，每一个分块的方法叫做A一种分法. 例如 31 32 3 11 3 13 14 23 24 1 41 42 5 25 34 43 4 12 2 35 1 4 5 22 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a       =       则A可记作 21 1 12 3 1 2 2 13 A 2 A A A A A   A =    

第三章矩阵的运算 1 2 3 4 2 5 6 17 8 5 6 7 8 如： -4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 -8 -7 -6 -5 -8-7 -6 -5 则不是分块矩阵 注：分法取定后，同一行的子块具有相同的行数， 同一列的子块具有相同的列数

第三章 矩阵的运算 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5         − − − −     − − − − 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5         − − − −     − − − − 如： 则不是分块矩阵. 注：分法取定后，同一行的子块具有相同的行数， 同一列的子块具有相同的列数

第三章矩阵的运算 特殊分法 设矩阵A=(L)sxn: A A 按行分块A= 其中A=(a1,2,.,0m)》 4 i=1,2,.,S. j 按列分块A=（A,A42,.,An),其中A= azi j=1,2,.,n

第三章 矩阵的运算 特殊分法 设矩阵 ( ) , A a = ij s n 按列分块 A A A A = ( 1 2 , , , n ) ，其中 1 2 , j j j sj a a A a       =         j n = 1,2, , . 按行分块 1 2 , s A A A A     =         其中 1 2 ( , , , ), A a a a i i i in = i s = 1,2, ,

第三章矩阵的运算 二、分块矩阵的运算 1、加法 设A,B是两个mXn矩阵，对它们用 同样的分法分块： A A B A= B= pq 其中子块A与B,为同型矩阵，则 Au+Bu 4+B ● : +B +B

第三章 矩阵的运算 11 1 11 1 1 1 , q q p pq p pq A A B B A B A A B B         = =             1、加法 设 A, B 是两个m×n 矩阵，对它们用 同样的分法分块: 二、分块矩阵的运算 11 11 1 1 1 1 . q q p p pq pq A B A B A B A B A B   + +   + =     + +   其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则

第三章矩阵的运算 2、数量乘法 设分块矩阵A= 是任意数，则 2A= A1.Am

第三章 矩阵的运算 2、数量乘法 设分块矩阵 11 1 1 , , q p pq A A A A A      =       是任意数 则 11 1 1 q p pq A A A A A          =      

第三章矩阵的运算 3、乘法把矩阵A=(ak)mxs,B=(bg)xD分块成 [A 「B11.Bg 4= B= A B1.Bn 其中A1,A2,.,A的列数分别等于B,B2j,., B的行数，那么 C1 AB= 其中C,=∑4xB与(i=1,p:j=1,q）

第三章 矩阵的运算 11 1 11 1 1 1 1 2 1 2 , , , , , , , , , t q p pt t tq i i it j j tj A A B B A B A A B B A A A B B B         = =             其 中 的 列 数 分 别 等 于 的 行 数 那 么 ( ) 11 1 1 1 1, , ; 1, , . q p pq t ij ik kj k C C AB C C C A B i p j q =     =       其 中 = = =  3、乘法 把矩阵 ( ) , ( ) A a B b = = ik m s kj s p   分块成

第三章矩阵的运算 4、转置 A A . Au 设分块矩阵A= A A 则 Ap2 A . A'= n Au A

第三章 矩阵的运算 11 21 1 12 22 2 1 2 . pp t t pt A A A A A A A A A A              =            设分块矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 , tt p p pt A A A A A A A A A A       =       则 4、转置

第三章矩阵的运算 例1设 100 0 010 0100 -1 201 A= B= -121 0 41 0 1101 -1 -120 求AB

第三章 矩阵的运算 例1 设 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 , , 1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 A B         −     = =     −         − − 求 AB

第三章矩阵的运算 解 把A,B分块成 -1 A 321 0

第三章 矩阵的运算 解 把A,B分块成1 2 1 1 0 0 1 1 0 00 010 0 1 A     =         − 1 , E O A E   =     1 0 1 0 1 2 0 1 1 0 4 1 1 1 2 0 B     − =     −     − − 11 21 22 B E B B   =    