《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.1 向量的内积与正交向量组

第五章相似矩阵与二次型 Ch5 相似矩阵与二次型 ·§5.1向量的内积与正交向量组 §5.2方阵的特征值与特征向量 §5.3相似矩阵 ·§5,4实对称矩阵的相似对角形 ·§5.5二次型及其标准型 ● §5.6正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 Ch5 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型 §5.1 向量的内积及正交向量组 内积的定义及性质 二、 向量的长度及性质 三、 正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题

第五章 相似矩阵与二次型 二、向量的长度及性质 五、小结 思考题 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 一、内积的定义及性质 §5.1 向量的内积及正交向量组

第五章相似矩阵与二次型 内积的定义及性质 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都 可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显 的代数性质

第五章 相似矩阵与二次型 一、内积的定义及性质 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都 可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显 的代数性质

第五章相似矩阵与二次型 怎样几何地看待n维实向量空间？比如，是否 可以讨论n维向量的垂直、平行等概念？ 。这需要讨论向量的夹角、长度等概念 内积的概念讨论，方便地给出了长度和夹角的概念 ·装配了内积的n维实向量空间，称为欧几里德空 间 所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概 念

第五章 相似矩阵与二次型 怎样几何地看待 n 维实向量空间? 比如, 是否 可以讨论 n 维向量的垂直、平行等概念? • 这需要讨论向量的夹角、长度等概念. • 内积的概念讨论, 方便地给出了长度和夹角的概念. • 装配了内积的 n 维实向量空间, 称为欧几里德空 间. 所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概 念

第五章相似矩阵与二次型 定义5.1.1设有n维实向量 b 42 B= b2 Q= b 令[a,B]=a,b1+a2b2+.+anbn, 称[a,B]为向量与B的内积

第五章 相似矩阵与二次型     1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , 5. . . 1 1 n n n n n a b a b a b a b a b a b                     = =             = + + + 定 设有 维实向量 令 称 为向量 与 义 的内积

第五章相似矩阵与二次型 说明： 1.n(2≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义. 2.内积是向量的一种运算，如果，B都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [a,B]=a'B

第五章 相似矩阵与二次型 说明: 1. n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．   2. , , , : , .       =  内积是向量的一种运算 如果 都是列 向量 内积可用矩阵记号表示为

第五章相似矩阵与二次型 内积的运算性质 (其中a,B,y为n维实向量，为实数)： )[a,]=[B,a]; (2)[a,B]=2[a,β]： (3)[a+B,y]=[a,y]+[B,y]: (4)[a,a]≥0，当且仅当=0时有a,a]=0. cauchy-.schwarz不等式[a,BT≤Ia,aB,B]

第五章 相似矩阵与二次型 内积的运算性质 (其中    , , , : 为n维实向量 为实数) (1) , , ;      =   (2) , , ;       =   (3) , , , ;        + = +      (4) [ , ] 0, =0 [ , ]=0.       当且仅当 时有 2 cauchy-schwarz不等式 [      , ] [ , ][ ,  ]

第五章相似矩阵与二次型 二、向量的长度及性质 定义5.1.2 非负数[a,a=√匠+砖+.+a称为向量 a的长度（或范数），记作la 向量的长度具有下述性质： 1.非负性a≥0；当且仅当a=0时，a=0; 2.齐次性aa=2la; 3.三角不等式a+≤a+:

第五章 相似矩阵与二次型 定义5.1.2   2 2 2 1 2 , . n   a a a   非负数 = + + + 称 长度(或范数 量 的 ) 为向 ，记作 向量的长度具有下述性质： 1. 0; 0 , 0; 非负性     = = 当且仅当 时 2. ; 齐次性    = 3. . 三角不等式     +  + 二、向量的长度及性质

第五章相似矩阵与二次型 当a=1时，称au为单位向量 如果a≠0，由长度的概念得 1a网 0就是一个单位向量 用非零数 去乘以向量a得到一个与同方向的 单位向量，通常称为把向量α单位化

第五章 相似矩阵与二次型 当   = 1 , . 时 称 为单位向量 1   0, .  如果  由长度的概念得 就是一个单位向量 1 .     用非零数 去乘以向量 得到一个与 同方向的 单位向量，通常称为把向量 单位化

第五章相似矩阵与二次型 当a≠0，β≠0时， θ=arccos [a,] 称为n维向量a与B的夹角 lalBl 0∈[0，x]

第五章 相似矩阵与二次型     0, 0 , , arccos . 0, n              =  当 时 称为 维向量 与 的夹角