《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第三章 矩阵的理论_3-2逆矩阵

第三章矩阵的运算 S3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题

第三章矩阵的运算 一、概念的引入 在数的运算中，当数10时，有 aa"=aa=1, 其中a'=1为a的倒数，（或称a的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1, 使得 AA=4A=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中，当数 时， 有 其中 为 的倒数，（或称 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入

第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的定义 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵 12ùé5-2ù 例如 A意普B-是218 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如

第三章矩阵的运算 说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=4. (2)上述等式中A和B的地位是对称的. (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵 因此有必要讨论矩阵可逆的条件

第三章 矩阵的运算 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 可得 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 因此有必要讨论矩阵可逆的条件。 (2)上述等式中A和B的地位是对称的

第三章矩阵的运算 三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵 eau 412L 41n e ú A=01 设 022 L l2nú eL L L Lú e ú lnl 0n2 L ann 我们构造矩阵 A1A21LAmù A2 L Ai e M M Mu 称为A的伴随矩阵. e ú A1mA2n L A md

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 称为 A 的伴随矩阵. 设 三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵

第三章矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排 e12-10 例题1、求矩阵4=310的伴随矩阵. 8-10-2g A1=-2,A21=4,A31=1 e-241ù A12=6,A22=-3,A32=-3 -86-3 A3=1,A23=-2,A33=-5 1-2-51

第三章 矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排

第三章矩阵的运算 伴随矩阵的性质 4+@:4为L+a4=人i=j ￥0 ,+a,+儿+a元-=月 ￥0i1j 可得： A0L 0ù -44=014上及-4E e eL LL Lú ě0 只利4，就有4)=()A=E

第三章 矩阵的运算 可得： 伴随矩阵的性质

第三章矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件) n阶方阵A可逆·|A0,而且AI= A A 证明 "U"(充分) 已证. "b"(必要) 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A1=E=1 所以 |A10

第三章 矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 证明 两边取行列式，得 所以

第三章矩阵的运算 12-1ù 1判新- 1 0是否可逆？若可逆，求其送矩阵 1 - 0 解： 由于A=910,故A可逆，又 A1=-2,A2=4,A31=4, A12=-2,A2=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, é2 4 于是 é-2 41ù 9 。 1= 2 1 6 -3 3 e 3 3ú 81-2-5 1 2- 69 9

第三章 矩阵的运算 解： 故 A 可逆，又 A11 =-2， A21=4， A31=4， A12 =-2， A22 =-3， A32 =-3 A13=1， A23 =-2 ， A33 =-5 ， 于是

第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明：设AB=E 则|AB=A‖BE=1 所以|A10,由定理可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(AA)B=A(AB)=AE=A 同理可证，若BA=E,则B=A1

第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 所以 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 同理可证，若BA=E，则