《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 正定二次型的概念 二、 正定二次型的判定 负定二次型的概念 四、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 、正定二次型的概念 定义5.6.1设f=X'AX为实二次型，如果对任意 维列向量X≠0，都有f=X'AX>0,则称f=XAX为 正定二次型，并称对称矩阵A是正定矩阵：如果对任 意维列向量X≠0，都有f=X'AX≥0，则称f=X'AX 为半正定二次型，并称对称矩阵A是半正定矩阵. 例如f=子+x号+.+号 为正定二次型 f=x好+x子+.+x(r<)为半正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) n r f x x x f x x x r n = + + + = + + +  例如 为正定二次型 为半正定二次型 , 0, 0, , ; 0, 0, 5.6.1 , . f X AX n X f X AX f X AX n X f X AX f X A A AX =   =  =    =  =   设 为实二次型 如果对任意 维列向量 都有 则称 为 正定二次 并称 如果对任 意 维列向量 都有 则称 为 对称矩阵 是正定矩阵 对称矩阵 型 半正定二 是半正 定 次型 并称 定矩阵 义 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是其标准形（⑤-13）式中个系数全大于零。 证：设二次型f=X'AX经可逆线性变换 X=CY化为标准形∫=+元y片+.+九ny员 充分性： 若2>0(i=1,2,.,),对于任意的X≠0，则有 Y=C-1X≠0 故f(X)=f(CY)=y+2y3+.+2ny>0 即二次型正定

第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 (5 13) . 5.6.1 f X AX n =  − 实二次型 为正定的充分必要条件 是其标准形 式中 个系数全 定 大于零 理 2 2 2 C 1 1 2 2 n n f X AX X Y f y y y    =  = = + + + 证:设二次型 经可逆线性变换 化为标准形 充分性 : 1 0( 1, 2, , ) 0 0 i i n X Y C X  −  =  =  若 ，对于任意的 ，则有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 n n 故 f X f CY y y y = = + + +     即二次型f正定

第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） 假设存在某个2.≤0，取Y=e,(单位向量)， 当X=Ce,≠0，则有f(X)=f(Ce,)=元，≤0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而2，>0(i=1,2,.,)

第五章 相似矩阵与二次型 必要性 (反证法 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0. s s s s s Y e X Ce f X f Ce    = =  = =  假 设 存 在 某 个 ，取 单 位 向 量 ， 当 ，则有 0( 1, 2, , ). i 上式与f i n 为正定二次型矛盾，因而  =

第五章相似矩阵与二次型 推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正. 推论2实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为∫=++.+y 推论3实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的正惯性指数为n

第五章 相似矩阵与二次型 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正. 2 2 2 1 2 2 n f X AX f y y y =  = + + + 实二次型 为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为 推论 3 . f X AX n 实二次型 =  为正定的充分必要条件 是它的正惯性指数为 推论

第五章相似矩阵与二次型 推论4若A为正定矩阵，则A>0. 因为A正定，所以二次型f=XAX正定，经可逆线性 变换X=CY化为标准形f=1y+22y+.+2nJy员 由定理5.6.1知，2>0(i=1,2,.,n),又因 0 0 C'AC=A= 02 0 0 所以|CAC=C|A=|=22.n>0 而C≠0，故A>0

第五章 相似矩阵与二次型 推论4 若A A 为正定矩阵，则| | 0 . 2 2 2 1 1 2 2 n n A f X AX X CY f y y y    =  = = + + + 因为 正定，所以二次型 正定，经可逆线性 变换 化为标准形 1 2 5.6.1 0( 1, 2, , ) 0 0 0 0 0 0 i n i n C AC       =        = =       由定理 知， ，又因 2 1 2 0 C AC C A     n 所以| | | | | | | |  = = =  而| |C A   0 0. ，故| |

第五章相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立

第五章 相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立 1 0 0 1 A   − =     −

第五章相似矩阵与二次型 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法 设A为阶对称矩阵，由A的前k行前k列元素构成 12 的阶行列式 L21 L22 2k (k=1,.,n) Ckk 称为矩阵A=()的k阶顺序主子式

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 21 22 2 1 2 ( 1, , ) ( ) . k k k k kk ij A n A k k a a a a a a k k n a A a k a a = = 设 为 阶对称矩阵，由 的前 行前 列元素构成 的 阶行列 阶顺序主子式 式 称为矩阵 的 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法

第五章相似矩阵与二次型 定理5.6.2实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件 是它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零. 证明略，记住结论即可

第五章 相似矩阵与二次型 5.6. . 2 f X AX A 实二次型 =  为正定的充分必要条件 是它的矩阵 的所有顺序主子式 定 全大于零 理 证明略，记住结论即可

第五章相似矩阵与二次型 例1判断下列二次型的正定性 (1)f=3x+4xx2+4x-4x2x3+5x (2)f=-5x1+4xx2+4xx3-6x-4x3 「32 0 解：(1)二次型的矩阵为 A= 2 4-2 0 -25 以P记它的顺序主子式，则 32=8>0,R,A作28>0 R=3>0,B=24 由定理5.6.2知，f正定

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 1 3 4 4 4 5 5 4 4 6 4 f x x x x x x x f x x x x x x x = + + − + = − + + − − 例 判断下列二次型的正定性 (1) (2) 解:(1)二次型的矩阵为 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A     = −       − 以Pk记它的顺序主子式，则 1 2 3 3 2 3 0, 8 0, | | 28 0 2 4 P P P A =  =  = =  ＝ 由定理5.6.2知，f正定