《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形 实对称矩阵的性质 二、 实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章 相似矩阵与二次型 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 一、实对称矩阵的性质 二、实对称矩阵对角化的方法 三、小结

第五章相似矩阵与二次型 实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似为此，我们 首先证明下面三个引理

第五章 相似矩阵与二次型 一、实对称矩阵的性质 上节讨论了一般方阵与对角形矩阵的相似问题， 现在我们来解决本章的主要问题，即如何用正交 矩阵使实对称矩阵与对角矩阵相似.为此，我们 首先证明下面三个引理

第五章相似矩阵与二次型 复数常记为如下形式：a+bi, 这里是虚数单位，2=-1. 而a,b是实数，分别称为实部和虚部. 设x=a+bi,其共轭复数为r=a-bi. 其复数的模为x=Va2+b2

第五章 相似矩阵与二次型 2 1. , a bi i i a b + = − 复数常记为如下形式： ， 这里 是虚数单位， 而 是实数，分别称为实部和虚部. 2 2 . . x a bi x a bi x x a b = + = − = + 设 ，其共轭复数为 其复数 的模为

第五章相似矩阵与二次型 n维复向量x满足性质： 元Tx≥0， 等号成立当且仅当x=0, 事实上，若x=(x1,c2,.,xn)T,∈C,i=1,2,.,n.则 元Tx=元1c1+元2x2+.+元nxn =z12+lx22+.+cn2 ≥0， 其中x是复数x的模.且元Tx=0当且仅当x=0

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数 证明 设复数2为对称矩阵A的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=x,x≠0. 用元表示的共轭复数，表示的共轭复向量， 因A是实矩阵，则A=A. 进而 Ax=Ax=(Ac)=(几x)=元x

第五章 相似矩阵与二次型 引理5.4.1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 设复数为对称矩阵A x 的特征值 复向量 为 对应的特征向量 即 Ax = x , x  0. 用  表示 的共轭复数, 进而 A x A x = = = = ( ) ( ) . Ax x x   x x 表示 的共轭复向量, 因 = . A A A 是实矩阵，则

第五章相似矩阵与二次型 对Ax=几x,同时左乘 于是有'Ax=x'(Ax)='九x=几x'x, 另外 XAx=XA'x =(Ax)'x =(Ax)'x =Axx 两式相减，得(2-2)'x=0. 但因为x≠0， 所以=2，x=x≠0，故(2-元列)=0， 即几=元，由此可得几是实数

第五章 相似矩阵与二次型 于是有 = ( ) Ax x = ( )  x x   x x  = 两式相减，得 ( ) 0.   − = x x  但因为 x  0, 故( ) 0,   − = 即 ,   = 由此可得是实数. 2 1 1 0, n n i i i i i x x x x x = = 所以  = =    x Ax x Ax   = ( ) = x x  =  x x  , 另外 x Ax x A x    = 对Ax x x =  ,同时左乘 

第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 由于对称矩阵A的特征值2为实数，所以齐次 线性方程组 (A-2E)K=0 是实系数方程组，由A-2,E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量

第五章 相似矩阵与二次型 定理5.4.1的意义 , ( ) 0 , 0 , . i i i A A E x A E   − = − = 由 于对称矩 阵 的 特征值 为 实 数 所 以 齐 次 线 性方程组 是 实 系 数方程组 由 知 必 有 实 的 基础解 系 从而对应 的 特征 向 量可 以 取 实 向 量

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的. 证明设P,P,是对称矩阵4的不同的两个特征值 2,2,的特征向量，即 Ap1=2P1,Ap2=22P2: 因A=A,故P1'=(P)'=(Ap)'=p1A'=p1'A, 于是P1P2=p1Ap2=p1(22P2)=2P1P2, 即(1-2p1'p2=0. 但2≠，故1'P2=0.即p1与p2正交

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = =   , ， 因A A =  , 1 1 1 1 1   p p Ap ( ) ( )  故 = =   1 1 p A p A,   = =  于是 1 1 2 1 2 1 2 2   p p p Ap p p ( )    = = 2 1 2  p p , =  1 2 1 2 即 ( ) 0.   − = p p  1 2 但   , . 故p p 1 2  = 0. 即p1与p2正交 引理5.4.2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设A为阶对称矩阵，2是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-入E的秩为n-r,从而对应特征值元 恰有 个线性无关的特征向量

第五章 相似矩阵与二次型 , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r  − −   设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理

第五章相似矩阵与二次型 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 P-1AP=Λ， 其中△是以A的个特征值为对角元素的对角矩阵， 证明 设4的的互不相等的特征值为入，22，.，入， 它们的重数依次为r,2,.,(G+2+.+了=) 根据引理5.4.1（对称矩阵的特征值为实数）和引 理5.4.3（如上）可得：

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , 5.4. , . 1 A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对 理 角矩阵 定 证明 1 2 , , , , 设A的的互不相等的特征值为  s 1 2 1 2 , , , ( ). s s 它们的重数依次为r r r r r r n + + + = 根据引理5.4.1(对称矩阵的特征值为实数)和引 理5.4.3( 如上)可得：