《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 向量与矩阵 §2.3 向量组的线性相关性

第二章矩阵与向量 2.3 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 三、 线性相关性的判定 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量组的秩 六、向量空间的基与向量的坐标

第二章 矩阵与向量 二、线性相关性的判定 一、线性相关性的概念 §2.3 向量组的线性相关性 六、向量空间的基与向量的坐标 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组 五、向量组的秩

第二章矩阵与向量 、线性相关与线性无关的概念 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量1,2，0m和a,若存在m 个数21,2，.，1m,使得： a=九11+2a2+.+九mm 则称a是%1,2，Cm的线性组合，1,2·，m称 为组合系数，或称向量a可由向量组1,2，&m线 性表示 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章 矩阵与向量 一、线性相关与线性无关的概念 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数,或称向量可由向量组1 ,2 ,.,m线 性表示 . 显然，零向量是任何一组向量的线性组合

第二章矩阵与向量 例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1,.,0) En=(0,0,.,1) a=(41,42,.,n)是任意一个n维向量，由于 0=0181+2B2+.+0n8n 所以a是61,82，.，8n的线性组合. 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组， 同维数的向量所组成的集合称为向量组

第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 1 1 2 2 1 2 , , , . n n n     a a a     = + ++ 所以 是  的线性组合 同维数的向量所组成的集合称为向量组. 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组

第二章矩阵与向量 例2证明向量a=(0,4,2)是向量，=(1,2,3)， 2=(2,3,1),%=(3,1,2)的线性组合，并将 a用a1,a2,Q,线性表示. 解：先假定a=a,+几2必2+23？即 (0,4,2)=2(1,2,3)+22(2,3,1)+2(3,1,2) =(21+222+32,22+322+入3,321+22+22) 因此 2+222+323=0, 22+322+元3=4， 32+22+223=2

第二章 矩阵与向量 1 2 3 1 2 3 2 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) , , .         = = = = 例 证明向量 是向量 ， ， 的线性组合，并将 用 线性表示 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 2 3 23 1 =-18≠0， 3 1 2 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 21=1,22=1,23=-1 于是a可表示为C=1+a2一03

第二章 矩阵与向量 由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3

第二章矩阵与向量 2.向量能否由向量组，n线性表出可转化 为线性方程组有没有的问题 对于元线性方程组(2-8)若以o侧表示其中第个未知 量的系数构成的m维列向量，即 4 azj ,= j=1,2,.,n B= Amj bm 那么，方程组(2-8)可以表示为 x a+x2az+.+x a =B 反之对应的线性方程组为

第二章 矩阵与向量 . 2. , , 1 为线性方程组有没有解的问题 向 量能否由向量组   m 线性表出可转化 对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a        = =         1 2 m b b b        =        那么，方程组(2-8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 反之对应的线性方程组为

第二章矩阵与向量 1七1+012x2+.+41mn=b1 021X1+022X2++02mXm=b2 amx1+am2x2++amm xn=bm 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量a1,2,am线性表示.当能由向量 必1,2，.anm线性表示且表达式唯一时，方程组(2-8) 有解且解唯一，当线性方程组无解时，β能由向量 01,02,0m线性表示

第二章 矩阵与向量 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量1 ,2 ,., m线性表示.当能由向量 1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一，当线性方程组无解时， 能由向量 1 ,2 ,., m线性表示。        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

第二章矩阵与向量 3.一般地，a与，o2,om必为且仅为一下三 种情形之一： 1.a可由a1,02,0m的线性表示，且表达式唯 2.a可由o1,o2,om的线性表示，但表达式不 唯一； 3.o不能由a1,a2,.,0m的线性表示

第二章 矩阵与向量 3.一般地， 与 ,2 ,., m 必为且仅为一下三 种情形之一： 1. 可由1,2 ,.,m 的线性表示，且表达式唯 一； 2.可由1,2 ,.,m 的线性表示，但表达式不 唯一； 3.不能由1,2 ,.,m 的线性表示

第二章矩阵与向量 4.线性相关和线性无关的定义 定义2.3.2设n维向量组a41,am,如果存在 不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1a1+k202+.+km0m=0 则称向量组%1,2,0m线性相关，否则称它们线性 无关. 由定义显然可得到，一个向量组要么线性相关，要 么线性无关。 注：1,2，0m线性无关，就是 k1a41+k202+.+km0m=0<k1=k2=.=km=0

第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存在 不全为0 的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 4.线性相关和线性无关的定义 由定义显然可得到，一个向量组要么线性相关，要 么线性无关

第二章矩阵与向量 根据定义23.2，可以直接得到以下结论： (1)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是a=0; (2)如果向量组c%1,2,m中有某两个向量a,=ka (),对应成比例，那么向量组1，an线性 相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关 在一个向量组%1,2，&m中，任取若干个向量组成 的向量组，叫做a1,2,0m的部分向量组，简称部分 组. (④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的

第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. 在一个向量组1 ,2 ,.,m中，任取若干个向量组成 的向量组，叫做1 ,2 ,.,m的部分向量组，简称部分 组. (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的