《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵

矩阵的 §3.2 逆矩阵 一、 逆矩阵概念 二、 矩阵可逆的条件 三、 可逆矩阵的性质 四、典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、逆矩阵概念 二、矩阵可逆的条件 三、可逆矩阵的性质 四、典型例题

第三章矩阵的运算 逆矩阵概念 在数的运算中，当数a≠0时，有 aa1=-1a=1, 其中a'=1为a的倒数，（或称a的逆）； L 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1 使得 AA-=AA=E, 则矩阵A一称为A的可逆矩阵

第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、逆矩阵概念

第三章矩阵的运算 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵 如4-6引=[3 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 例如 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵

第三章矩阵的运算 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的， 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E 可得B=EB=(CAB=C(AB)=CE=C 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=A-

第三章 矩阵的运算 说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作 A -1 1 B C A . − = =

第三章矩阵的运算 注： 1.A也是B的逆矩阵，A,B互为逆矩阵， 2.只有方阵才可能有逆矩阵；不是方阵，肯定不可 逆 3。记号A是一个特定的记号，不要错写为4·

第三章 矩阵的运算 注： 1. A 也是B 的逆矩阵, A,B 互为逆矩阵. 2. 只有方阵才可能有逆矩阵; 不是方阵, 肯定不可 逆. 3. 记号 A -1是一个特定的记号, 不要错写为 . 1 A

第三章矩阵的运算 二、矩阵可逆的条件 设 41 12 A= 22 n An (n2 我们构造矩阵 A2 。 A n2 称为A的伴随矩阵 : 2 nn

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       二、矩阵可逆的条件

第三章矩阵的运算 A2 A A"= A22 .An2 A2n nn 伴随矩阵在位置(i,)上的元素是矩阵A在位置(，)上的代 数余子式 伴随矩阵为什么这样定义？是因为AA或AA会得 到一个非常漂亮的结果

第三章 矩阵的运算 伴随矩阵为什么这样定义? 是因为 或 会得 到⼀个⾮常漂亮的结果. * AA * A A 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       伴随矩阵 在位置 上的元素是矩阵 A 在位置 上的代 数余子式 * A (i j , ) ( j i, )

第三章矩阵的运算 由于 an+a:4++0n4n=1i=j 0i≠j 44+4-

第三章 矩阵的运算 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j  = + + + =    = + + + =   由于

第三章矩阵的运算 可得： 12 A A21 nl A4" 21 22 。 @2n A22 A n2 2 A in A nn 0 0 0 0 -AE A"A 0 0 . 只要1≠0，就有4()=（同4A=E

第三章 矩阵的运算 可得： | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A A E A     = =   1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只 要  = = ，就有 21 1 21 11 12 1 11 121 22 2 222 * 2 1 2 nn n n nn n nn nn n a a a A A a a a AA AA AA A a a A a A         =     A A =

第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） n阶方阵A可逆台A≠0，而且A1= 证明"="（充分） 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得IAA1曰A‖A曰E=1 所以A≠0

第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1    = A A n阶方阵A可 逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0