《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 行列式_1.1 行列式的定义

《线性代数》课件 山东理工大学 数学与统计学学院

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第一章 行列式 本章主要从以下4个方面对行列式展开 讨论： 1.行列式的定义 2.行列式的性质 3.行列式的计算 4.行列式的应用

第一章 行列式 本章主要从以下4个方面对行列式展开 讨论： 1.行列式的定义 2.行列式的性质 3.行列式的计算 4.行列式的应用

第一节行列式的定义 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 411X1+4122=b1, (1) (1-1) 021X1+422X2=b2· (2) (1)×22:41142X1+124222=b422; (2)×a2:41242k1+42423=b2412, 两式相减消去x,得

第一节 行列式的定义 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , (1) (1-1) . (2) a x a x b a x a x b  + =   + = (1) : a22 , a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 (2) : a12 , a12a21x1 + a12a22 x2 = b2a12 两式相减消去 x2，得

(411422-412421）1=b1422-412b2; 类似地，消去x,得 （411422-412421）X2=41b2-b421, 当a1422-41241≠0时，方程组的解为 七=Ag-4,5,=46-21 1122-L12L21 C411L22一L12L22 由方程组的四个系数确定

; （a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 类似地，消去x1，得 , （a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 2 1 21 2 11 22 12 21 . a b b a x a a a a − = − 由方程组的四个系数确定

定义引入记号： 2 021 22 称之为二阶行列式，它表式数值41422-41242 即 D 411 2 =411422-412421 L21 L22 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列，4（心，广=1,2） 称为行列式的元素，为行标，为列标

定义 11 12 21 22 11 22 12 21 a a a a a a a a − 引入记号： 称之为二阶行列式，它表式数值 ， 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列， ( , 1,2) ij a i j = 称为行列式的元素，i为行标，j为列标

二阶行列式的计算一对角线法则 主对角线 11 L12 =411022-41221 次对角线 021 22 对于二元线性方程组 %11七1+4122=b1, 21x1+22x2=b2 若记 L11 412 L21 系数行列式 22

a21 11 a 12 a a22 主对角线 次对角线 对角线法则 = a11a22 . − a12a21 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式

411X1+012X2 4211+422X2 D b 22 →D= b D 12 b2 =b02z-412b2, L22

   + = + = . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b , 21 22 11 12 a a a a D = , 2 22 1 12 1 b a b a D = 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D b a a b b a = = −

则二元线性方程组的解为 2 1 D b2 L22 X1= D2 421 D 1 2 X2= D 411 12 L21 L22 21 L22 注意 分母都为原方程组的系数行列式

则二元线性方程组的解为 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x = =

例1求解二元线性方程组 3x1-2x2=12, 2x1+2=1. 解 =3-(-4)=7≠0， D =-21, .1= D1_14 D 4=2,X=D 7

例 1  + = − = 2 1. 3 2 12, 1 2 1 2 x x x x 求解二元线性方程组 解 2 1 3 − 2 D = = 3 − ( − 4 ) = 7  0 , 1 1 12 2 1 − D = = 14 , 2 1 3 12 D 2 = = −21 , DD x 1  1 = 2 , 7 14 = = DD x 2 2 = 3. 7 21 = − − =

类似地， 411X1+012x2+13K3=b1, 由三元线性方程组 021x1+22X2+423X3=b2, (1-2) 031x1+032火2+433X3=b3； 引入记号 12 3 w l22 L23 031 l32 33 称之为三阶行列式.它表式数值

引入记号 称之为三阶行列式.它表式数值 由三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , 1 2 ; a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + = −   + + = （ ） 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 类似地