《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组_4-1线性方程组有解的判定

第四章线性方程组 Ch4线性方程组 ·§4.1线性方程组的解的判别 ·S4.2齐次线性方程组的解的结构 ●§4.3非齐次线性方程组解的结构

第四章￾￾线性方程组 Ch4 线性方程组 §4.2 齐次线性方程组的解的结构 §4.1 线性方程组的解的判别 §4.3 非齐次线性方程组解的结构

第四章线性方程组 S4.1线性方程组的解的判别 >一、引例 。二、线性方程组的解的判别方法

第四章 线性方程组 §4.1 线性方程组的解的判别 一、引例 二、线性方程组的解的判别方法

第四章线性方程组 一、引例 n元线性方程组 iaux+ar2x2+L+aixn=b 子21+2x2+L+a2nxn=b2 LLLLLLLLL (4-1) am+am2amnn=bm 记 dinu é11012 b1ù e A=6421 L22 L 4i,A=801 22 L eL L L L 方 eL L L L Lu e ú lml Am2 L amn ělml (0m2 L 4mn bn

第四章 线性方程组 n 元线性方程组 记 一、引例

第四章线性方程组 ex1ù ú 8 ú x= b= e Mu' e Mu eú e,u exn &bmi 于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax=b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

第四章 线性方程组 于是，这个非齐次方程组可以记为 Ax = b 由第二章的讨论可知，方程组(4-1)与增广矩 阵具有一一对应关系，对方程组进行加减消元相 当于对其增广矩阵进行初等变换，因此求解方程 组的问题就可以转化为矩阵的初等行变化问题.一 般线性方程组的解可能会出现三种情况：有唯一 解、有无穷多解或无解

第四章线性方程组 二、线性方程组解的判别 定理4.1.1线性方程组(4-1)有解的充分必要条件是 它的系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩，即R(A)=R(A) 证：对于一般线性方程组(4-1)，设 eanu éa12ù edinu eb1ù e。ú eú eú e4ú3 e4ú' ehú eú eú eú e, ě0mli ě0m2i ěammi ěbmi

第四章 线性方程组 二、线性方程组解的判别 证： 对于一般线性方程组（4-1），设

第四章线性方程组 则线性方程组(4-1)可写为 x01+x202+4+Xn4n=b (4-3) 并且 A=1a24anǜ A=1a244nbǜ 必要性 若方程组有解，则4-3)知b可由a1,02,4,4n线性 表示，于是向量组a1,42,h,4n与向量组a1,42,4,an,b 等价.由性质2.3.1知秩{a1,a2,4,0n}=秩{a1,a2,4,4n,b}, 所以R(①=R(A)

第四章 线性方程组 则线性方程组（4-1）可写为 并且 必要性

第四章线性方程组 充分性 若R()=R(①，则向量组a1,42,4,0n与向量组a1,42, H,4,b有相同的秩，所以向量组a142,4,4,n的最大无关 组一定是a1,42,4,0n,b的最大无关组，因此b可由向量组 01,42,4,4n线性表示(4-3)知方程组(4-1)有解 推论1当R(A)1R(A)时，方程组(4-1)无解. 推论2如果方程组(4-1)有解，则它有惟一解的 充分必要条件是R(A)=R(A)=n

第四章 线性方程组 充分性

第四章线性方程组 证：（充分性） 由于方程组(4-1)有解，由(4-3)知b可由向量组 a1,a2)4,0n线性表示.又R(A)=n,故a1,42,4,4n线性 无关，由定理2.3.2知b可由向量组a1,a2,4,4n线性表 示的表达式惟一，即方程组(4-1)有惟一解. (必要性) 由于方程组有解，假设R(A)=R(A)=r<n,对 A作初等行变换化为行最简形后对应的同解方程组为 ix =d1-cIr+1-/4-cinxn X2 =d2-C2+1-4-C2nx 44 x=dr-Cm+1-14-Cmxn

第四章 线性方程组 证:(充分性) (必要性)

第四章线性方程组 若给定x1心。一组确定的数，由(4仁4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当x+1x取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1)的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故=n. 推论3如果方程组(4-1)有解，且R(A)=R(A)<n, 则方程组(4-1)有无穷多解. ìx1-2x2+3x3-x4=1 例1、判断方程组3x1-x2+5x3-3x4=2是否有解. 2x1+K2+2x3-24=3

第四章 线性方程组 若给定xr+1,.,xn一组确定的数，由(4-4)式可得 方程组(4-1)的一组解，当xr+1,.,xn取两组不同的 数时，便得到方程组（4-1）的两组不同的解，这 与方程组(4-1)由唯一的解矛盾，故r=n

第四章线性方程组 解：对方程组的增广矩阵A实施初等行变换， e1-2 3-11ù5-31-2 3-11ù A= &3 -1 5 -3 2 u 5-4 0 ú 212-23 13-2r05-4 0 1日 e1-2 3 -1 1ù 5 -4 0 000 0 2自 可见R(A)=2,R()=3,所以方程组无解

第四章 线性方程组 解：