《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第一章 行列式 1-4 克拉默法则

第 一章 行列式 §1.4克拉默法则 二、 克拉默法则 二、 重要定理 三、小结思考题

第一章 行列式 三、小结 思考题 二、重要定理 一、克拉默法则 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 一、 克拉默法则 11X1+12X2++41n火n=b 设线性方程组 21七1+22X2+.+2mXn=b2 (1) nX1+an22+.+AuXn=bn 若常数项，b,b不全为零则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 方程组)可简写为 ∑0gx=bi=1,2,.,n j= 由线性方程组)的系数构成的行列式 L12 D= L21 Az 称为方程组()的系数行列式

第一章 行列式 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式. 1 1,2, , n ij j i j a x b i n =  = = 方程组(1)可简写为

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D≠0那么线性方程组()有解，并且解是唯 一的，解可以表为 X1= Dy D,x;=D D: D 其中D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 01.0,-1b141j1.01m D nn

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式 证明： 1、存在性 D,=64+B4,++6,Ag=∑B.Ay 把x,-号代入第12.个方程，得 2a￥-，丹2②4 1 D 22aa,4=6,24,-D6D=b i=1s= 故x,=是方程组的解

第一章 行列式 证明： 1、存在性 1 1 2 2 1 n j j j n nj s sj s D b A b A b A b A = = + + + =  把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 D D x j j = i i n s n j s i j s j n j n s s i j i j n j n s i j s s j n j j i j n j i j j b D b D b a A D b a A D a b A D D D a x a = = = =         = =        = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 是方程组的解. D D x j j =

第一章行列式 2,唯一性 设(G1,C2,.,Cn)是方程组的一个解，则 24=4=12 A2g,=64=l.2,m 左端相加 立42c224a4,-224=60 i=1 右端相加 ∑b,Ak=D,从而cD=Dk i=1 得Ck= 所以方程组有唯一解。 D

第一章 行列式 2,唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a c b i n =  = = 1 ( 1,2, , ) n ik ij j i ik j A a c b A i n =  = = A a c A a c c a A ck D n j n i j i j i k n i n j i k i j j n i n j  i k i j j =  =   = =1 =1 =1 =1 =1 =1 , 1 k n i bi Ai k = D = D D c k 得 k = 所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

第一章行列式 结论 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组. 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数 及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值

第一章 行列式 结论 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1) 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数 及常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组

第一章行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 当b,b,bn全为零时，对应的齐次方程为 411X1+02X2+.+41nXn=0 021X1+022X2+.+42mXn=0 (2) 。 anx+an2x2++ax=0 显然，齐次线性方程组一定有解， X1=X2=.=Xn= 0 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章 行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x = = = = 显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章行列式 推论如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)只有零解. 换言之，如果齐次线性方程组(2)有非零解，则 其系数行列式必为零，反之，如果齐次线性方程组 (2)系数行列式为零，则齐次线性方程组(2)必有非零 解.于是有下面的定理，这将在第二章中给予证明. 定理1.4.2 如果齐次线性方程组(2)有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零

第一章 行列式 定理1.4.2 如果齐次线性方程组 有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零. (2) 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 只有零解. (2) (2) 换言之，如果齐次线性方程组(2)有非零解，则 其系数行列式必为零，反之，如果齐次线性方程组 (2)系数行列式为零，则齐次线性方程组(2)必有非零 解.于是有下面的定理，这将在第二章中给予证明

第一章行列式 例1用克拉默则解方程组 2x1+2-5x3+x4=8, 1-3x2-6x4=9, 2x2-3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1 -5 1 0 7 -5 13 -3 0 -6 1-23 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4- 0 2 2 6 0 12

第一章 行列式 例1 用克拉默则解方程组        + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −