《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量（复习）

Ch2 矩阵与向量

Ch2 矩阵与向量

一、基本要求 (1)了解线性方程组的加减消元法与矩阵的初等行变换的关系. (2)熟悉掌握向量的线性运算及其运算律. (3)熟练掌握用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵以及行最简形的 方法 (4)熟悉向量线性组合以及线性相关性的概念、性质、定理和有关结论，并能 用以判断向量组的线性相关性， (5)熟悉向量组等价的概念、性质以及常用结论，并能用以判断向量组是否 等价. (6)熟悉向量组的最大无关组的概念、性质，掌握求向量组的最大无关组的方法 (7)了解向量组和矩阵的秩的概念，并能熟练地使用矩阵的初等行变换求秩。 (8)重点掌握用向量组的秩判断向量组线性相关性、用初等行变换求向量组 的最大无关组的方法，以及用初等变换找出向量间的线性关系的方法， (9)初步了解向量空间、基、维数、子空间等概念，会求向量在一个基下的 坐标

二、内容提要 1.概念 2.性质 3.定理 4.常用结论 5.方法归纳

1.概念 1)矩阵 由m×n个数a,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,n)排成的m行n列的数表 a11 ☑12 aIn a21 Q22 a2n A- aml am2 amn. 称为m行n列矩阵，简记为A=(a))mxn或Am×n·

2)阶梯形矩阵 C11 C12 C1r+1 0 C22 C2r C2r+1 C2n 0 0 Crr Crr+1 Cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 阶梯形矩阵的特点为：每个阶梯只有一行；元素不全为零的行（非零行）的第一 个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；元 素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面

3)行最简形 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且这个1所在列的其余 元素全为零，则该矩阵称为行最简形 4)标准形 矩阵 「1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 称为矩阵Am×n的标准形

5)初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： (1)交换矩阵的i,j两行（列），记作r,r,(c,c,); (2)以非零数k乘以矩阵的第i行（列）的所有元素，记作r,×k(c,Xk): (3)把第j行（列）所有元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，记作r,十 kr;(ci+kcj). 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换 6)矩阵的等价 矩阵A经过初等变换化为矩阵B,称A与B等价，记作A~B

7)向量 n个实数构成的有序数组(a1,a2,·,an)称为一个n维行向量，记作a,即 a=(a1,a2,.,am）. 称 a a2 =(a1,a2,.,an) an- 为n维列向量. 以上实数a,称为向量a的第i个分量. 所有分量均为零的向量称为零向量，记作0=(0,0，.，0). n维向量a=(a1,a2,.,an)的负向量一a=(一a1,一a2,一an). 如果n维向量a=(a1,a2,.,an),B=(b1,b2,bn)的对应分量都相等，即 a=b,i=1,2,.,n, 则称向量a与B相等，记作a=B

8)向量的线性运算 设向量a=(a1,a2,.,an),B=(b1,b2,.,bn). (1)加法：a十B=(a1十b1,a2十b2,.,an十bn). (2)数与向量的乘法：Aa=(Aa1,Aa2,·,Aan)(A∈R). 9)线性组合 对于向量a,a1,a2,.,am,如果存在一组数k1,k2,.,km,使得 a=k1a1十k2a2十.十knam 成立，则称向量a是向量a1,a2,.,am的线性组合，或称向量a可由向量组a1, a2,.,am线性表示. 10)向量组的等价 若向量组1,2，.，a.中的每个向量a(i=1,2,.,s)都可由向量组B,B2,.,B 线性表示，则称向量组1,2，.，a,可由向量组B1,B2,.,B,线性表示. 如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价

11)线性相关性 对于向量组1，a2,.,am,如果存在不全为零的数1，k2,·,km,使得 k1a1+k2a2+.十knam=0 成立，则称向量组1，a2,.,am线性相关；否则，即仅当k1,k2,·,km全为零时上 式成立，称向量组1,2，.，am线性无关. 12)最大无关组 若向量组T的一个部分组a1,a2,.,a,同时满足： (1)1,02,.,a,线性无关； (2)Ha∈T,向量组a,a1,2,.,a,线性相关（或向量a可由向量组a1,2,., a,线性表示)，则称向量组1,2，·，a,为向量组T的一个最大无关向量组，简称 最大无关组。 13)向量组的秩 向量组T的最大无关组a1,a2,.,a,所含向量的个数r称为向量组T的秩， 记作R(T),即R(T)=r. 只含零向量的向量组的秩规定为0