《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵

第三章矩阵的运算 S3.2 逆矩阵 一、 概念的引入 二、 逆矩阵概念与性质 三 典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵概念与性质 三、典型例题

第三章矩阵的运算 概念的引入 在数的运算中，当数a10时，有 aa1=a'a=1, 其中。'=1为a的倒数，（或称a的逆） 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1, 使得 AA=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 在数的运算中，当数 时， 有 其中 为 的倒数，（或称 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入

第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的概念与性质 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵 12ù é5-2ù 例如 A= 意588-218 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的概念与性质 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵

第三章矩阵的运算 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=4

第三章 矩阵的运算 说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 可得 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1

第三章矩阵的运算 设 11 02 L ain i e L ú A= 22 L2nú eL L L Lú e ú 0nl an2 L ann 我们构造矩阵 A21 L An L A称为A的伴随矩阵 ú A*= e M M n A2n L 4

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 称为 A 的伴随矩阵. 设

第三章矩阵的运算 由于 a4h+aa4:+l+an4n-4i=j ￥0i1i 可得： 品，+4，+1+a4,=风ij ￥0i1i A0L0ù AA=AA= 01A利L0 =AE EL LLLú ě0 |Aǜ 只要10，就有4)=（行4们A=B

第三章 矩阵的运算 可得： 由于

第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） I= n阶方阵A可逆0|A10,而且A A* 证明 "U"(充分) 已证. "b"(必要) 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=|A‖A1=|E=1 所以 |A10

第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 证明 两边取行列式，得 所以

第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵」 证明： 设AB=E 则|AB|A‖BE=1 所以|A0,由定理可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(4A)B=A(AB)=4E=A 同理可证，若BA=E,则B=A1

第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 所以 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 同理可证，若BA=E，则

第三章矩阵的运算 é12-1ù 例1判断A= 1 0是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 仓1 0-2 解： 由于A=910,故A可逆，又 A1=-2,A2=4,A31=4, A12=-2,A2=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 4 1ù 于是 9 9 9 e-2 41ùd e 1 1 i A1= A= 6 A -3 -3 3 1 -2 -5 1 2 0 91

第三章 矩阵的运算 解： 故 A 可逆，又 A11 =-2， A21=4， A31=4， A12 =-2， A22 =-3， A32 =-3 A13=1， A23 =-2 ， A33 =-5 ， 于是

第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A1,A亦可逆，且 ()1=A,(A91=()g (2)若A可逆，数110，则1A可逆，且 00'= (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)=B4

第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质