《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-6 正定二次型

第五章相似矩阵与二次型 s5.6 正定二次型 一、 正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结思考题

第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念 定义5.6.1设f=XX为实二次型，如果对任意 维列向量X10,都有f=X4X>0,则称f=XX为 正定二次型，并称对称矩阵4是正定矩阵；如果对任 意维列向量X10,都有f=X4X30,则称f=XX 为半正定二次型，并称对称矩阵4是半正定矩阵. 例如∫=x好+子+L+x 为正定二次型 f=x子+x子+L+x(r<n)为半正定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1实二次型f=X4X为正定的充分必要条件 是其标准形(5-13)式中n个系数全大于零. 证：设二次型f=X4X经可逆线性变换 X=CY化为标准形f=11y子+l2y+L+1my员 充分性： 若l,>0(i=1,2,L,),对于任意的X10,则有 Y=CX10 f(X)=f(CY)=1y+l22+L+l>0 即二次型正定

第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 充分性 : 即二次型f正定

第五章相似矩阵与二次型 必要性（反证法） 假设存在某个1.￡0，取Y=e.(单位向量)， 当x=Ce、10,则有f(X)=f(Ce,)=l,￡0. 上式与f为正定二次型矛盾，因而l,>0(i=1,2,L,), 推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正 推论2实二次型f=XX为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为f=y+y子+L+y

第五章 相似矩阵与二次型 必要性(反证法) 推论1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的 特征值全为正

第五章相似矩阵与二次型 推论3 实二次型f=XX为正定则A>0. 因为4A正定，所以二次型f=XX正定，经可逆线性 变换X=CY化为标准形f=I1y+l2y?+L+1my 由定理5.6.1知，1，>0(i=1,2,L,n),又因 l,0L0ù C4C=L=012L e 0 ú LLLLú e0 0 L I.d 所以C4C=|CAA=|=1l,L1,>0 而C10,故|A>0

第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立 é-10ù A=80-8 设为阶对称矩阵，由的前k行前k列元素构成 1 12 L 的阶行列式 L L22 L LL L akI 0k2 L kk 称为矩阵A=(a:)的k阶顺序主子式

第五章 相似矩阵与二次型 特别注意：反之，结论不成立

第五章相似矩阵与二次型 定理5.6.2实二次型f=XX为正定的充分必要条件 是它的矩阵的所有顺序主子式全大于零. 例1判断下列二次型的正定性 (1f=3x2+4xx2+4-4x2x3+5x (2f=-5x+4x1x2+4xx3-6x2-4x3 3 2 0ù 解：(1)二次型的矩阵为 A= 2 4 =B 0 -2 5d

第五章 相似矩阵与二次型 解:(1)二次型的矩阵为

第五章相似矩阵与二次型 以P记它的顺序主子式，则 卫=3>0，B= ，8>0g4作28 由定理5.6.2知，f正定， e-52 2ù (2)二次型的矩阵为 A=) -6 0 ú 2 0 -4日 它的顺序主子式， D=-50,P=A=-80<0 由定理5.6.2知，不是正定的

第五章 相似矩阵与二次型 以Pk记它的顺序主子式，则 由定理5.6.2知，f正定. (2)二次型的矩阵为 它的顺序主子式， 由定理5.6.2知，f不是正定的

第五章相似矩阵与二次型 三、负定二次型的概念 定义设f=XX为实二次型，如果对任意维非零 列向量X10,都有f=XX<0,则称f=X4X为 负定二次型，并称对称矩阵是负定矩阵；如果对任意 非零维列向量X10,都有f=X4X￡0，则称f=X4X 为半负定二次型，并称对称矩阵A是半负定矩阵. 例如f=-x子-x好-L-x 为负定二次型 f=-x-x子-L-x(r<n)为半负定二次型

第五章 相似矩阵与二次型 三、负定二次型的概念

第五章相似矩阵与二次型 定理5.6.3实二次型f=XX为负定的充分必要条件 是它的矩阵的所有奇数顺序主子式小于零，偶数顺序 主子式大于零 例2证明实对称矩阵4正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵U,使得A=UU. 充分性：设存在可逆矩阵U,使得A=UU, 则对任意非零列向量X,有UX10,从而 XOX=XUUX=(UXUX)>0 所以实二次型f=XX正定，故矩阵A正定：

第五章 相似矩阵与二次型 充分性：