《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵

第三章矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题

第三章 矩阵的运算 §3.2 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的定义 三、矩阵可逆的充分必要条件 四、可逆矩阵的性质 五、典型例题

第三章矩阵的运算 一、概念的引入 在数的运算中，当数0≠0时，有 a01=aa=1, 其中a'=1为a的倒数，（或称a的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵A1, 使得 AA=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

第三章 矩阵的运算 , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 1, 1 1 = = − − aa a a 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算 中的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A -1 , 使得 一、概念的引入

第三章矩阵的运算 二、逆矩阵的定义 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B, 使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵。 例如 4+[ 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵

第三章 矩阵的运算 定义3.2.1 设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B， 使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 二、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如

第三章矩阵的运算 说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一 磐设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1 B=C=A-1. (2)上述等式中A和B的地位是对称的. (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵 因此有必要讨论矩阵可逆的条件

第三章 矩阵的运算 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一 的. 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = = (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 因此有必要讨论矩阵可逆的条件。 (2)上述等式中A和B的地位是对称的

第三章矩阵的运算 三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵 1 L12 设A= L21 L22 我们构造矩阵 A21 A A"= A n2 称为A的伴随矩阵。 A 2n A nn

第三章 矩阵的运算 我们构造矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       三、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵

第三章矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排 712-1 例题1、求矩阵A=3 10的伴随矩阵， -10-2 A1=-2,A21=4,A31=1 -241 A12=6,A22=-3,A32=-3 A= 6 -3 -3 A13=1,A23=-2,A33=-5 1-2 -5

第三章 矩阵的运算 注意：伴随矩阵元素的排列顺序 A中行元素的代数余子式按列排 A中列元素的代数余子式按行排 例题1、求矩阵 的伴随矩阵.           − − − = 1 0 2 3 1 0 1 2 1 A * 2 4 1 6 3 3 1 2 5 A   −   = − −   1, 2, 5     − − 6, 3, 3 2, 4, 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 = = − = − = = − = − = − = = A A A A A A A A A

第三章矩阵的运算 %,n+a:++4.=周=1 伴随矩阵的性质 0i≠j +a++a4,=A 0i≠ 可得 0 0 0 14 . 0 AA=A'A= -AE 0 贝要4就有4司4=(M=E

第三章 矩阵的运算 可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A     = = =         1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j  = + + + =     = + + + =    1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只要  = = ，就有 伴随矩阵的性质

第三章矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件) 阶方阵A可逆今A≠0，而且A1=, 证明""（充分） 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA=A‖A=E=1 所以 A≠0

第三章 矩阵的运算 2.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1    = A A n阶方阵A可逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0

第三章矩阵的运算 12-1 例1判断A=31 0是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。 -10-2 解： 由于A=9≠0， 故A可逆，又 A11=-2,A21=4,A31=4, A12=-2,A22=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 于是 - -2 41 2 1 -3 -3 3 3 -2 -5 1 5 9 0

第三章 矩阵的运算 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A   −   =       − − 例 判断 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 解： 由于 A =  9 0， 故 A 可逆，又 A11=-2， A21=4， A31=4， A12=-2， A22=-3， A32=-3 A13=1， A23=-2 ， A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A −   −   = = − −       − − 2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9   −      = − −       − −    

第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明：设AB=E 则|AB=A‖B=E=1 所以|A≠0，由定理可知，A可逆 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A(AB=AE=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1

第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A  由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若BA=E，则 1 B A . − = 1 A − =