《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第四章 线性方程组 §4.3 非齐次线性方程组

第四章线性方程组 §4.3非齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的性质 非齐次线性方程组的通解

第四章 线性方程组 §4.3 非齐次线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组的通解

第四章线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 对于非齐次线性方程组(4-1) 11x1+412X2+.+41n火n=b1, 21七1+022x2+.+42mXn=b2, am am2x2+.+amxn=bm 1 2 。 in b 记A= l21 L22 ●●● X2 b2 ,X= ,b= ●●● ●●● 0m2 Xn b

第四章 线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 对于非齐次线性方程组(4-1) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , . , , n n n n m m mn n m n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a a a x b a a a x b A x b a a a x b  + ++ =   + ++ =      + ++ =               = = =              ， 记

第四章线性方程组 则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 411x1+412x2+.+41mXn=0, 021七1+22X2+.+42mXn=0, 0m七1+m2X2+.+mnXn=0. 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

第四章 线性方程组 则线性方程组(4-1)可记为Ax=b. 齐次线性方程组(4-5) 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + ++ =   + ++ =      + ++ = ， 可记为Ax=0. 我们把方程组(4-5)称为与方程组(4-1)对应的 齐次线性方程组

第四章线性方程组 非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 性质4.3.1设x=7,及x=7,是方程组(4-1)的解， 则x=7,-刀，是其对应的齐次方程组(4-5)的解。 证明 因为An,=b,A72=b 所以A(7,-72)=b-b=0. 即x=71-72满足方程Ax=0

第四章 线性方程组 非齐次线性方程组(4-1)的解有下面性质 1 2 1 2 4 (4 1) ( .3. 4 5) . 1 x x x     = = − = − − 设 及 是方程组 的解， 则 是其对应的齐次方程组 性 的解 质 证明 所以A b b (  1 2 − = − = ) 0.0. 即x =1 −2满足方程Ax = 1 2 因为 A b A b   = =

第四章线性方程组 性质4.3.2设x=7是方程组(4-1)的解，x=5是方程组 (4-5)的解则x=7+5是方程组(4-1)的解， 证明A(ξ+n)=A5+An=0+b=b, 所以x=5+n是方程Ax=b的解

第四章 线性方程组 (4 1) (4 5) (4 1) . 4.3.2 x x x     = − = − = + − 设 是方程组 的解， 是方程组 的解则 是方程组 性 的解 质 证明 A( +) = A + A = 0 + b = b, 所以x =  + 是方程 Ax = b的解

第四章线性方程组 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知(4-1)的任一解x总可以表示为 x=5+n 其中5是(4-5)的解，n是(4-1)的一个解 又若方程组(4-5)的通解为 元=k51+k,52+.+kn,5n 则方程组(4-)的任意解总可以表示为 x=k151+k252+.+km-,5m-,+7

第四章 线性方程组 二、非齐次线性方程组的通解 由性质4.3.1知 (4-1)的任一解x总可以表示为 * * (4 5) (4 1) x     = + 其中 是 − − 的解， 是 的一个解. * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 1 1 2 2 n r n r x k k k    = + ++ − − 又若方程组(4-5)的通解为 则方程组(4-1)的任意解总可以表示为

第四章线性方程组 而由性质4.3.2可知，对任何数k1,k2,km-, 上式总是方程(4-1)的解，于是方程组(4-1)的通解为 x=k51+k252++km-,5m,+n 其中 51,52,.,5n,是(4-5)式的基础解系， k1,k2,knr为任意数

第四章 线性方程组 而由性质4.3.2可知,对任何数 1 2 , , , n r k k k  − 上式总是方程(4-1)的解,于是方程组(4-1)的通解为 * 1 1 2 2 n r n r x k k k = + ++ +     − − 1 2 , , , n r     − 1 2 , , , , n r k k k  − 其中 是(4-5)式的基础解系, 为任意数

第四章线性方程组 例1：求解方程组 七1+X2-3x3-x4=1, 3X1-X2-3x3+4x4=4, x1+5x2-9x3-8x4=0. 解：对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形 11-3-1 1 2-3r 11-3-1 1 A= 3-1 -3 44 0-4 6 71 1 5 -9-8053-504-6-7-1

第四章 线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1, 3 3 4 4, 5 9 8 0. x x x x x x x x x x x x  + − − =   − − + =   + − − = 例1：求解方程组 1 1 3 1 1 3 1 3 4 4 1 5 9 8 0 A   − −   = − −       − − 2 1 3 1 3 1 1 3 1 1 ~ 0 4 6 7 1 0 4 6 7 1 r r r r − − −     −   − − − −     解： 对增广矩阵进行初等行变换化成行最简形

第四章线性方程组 11-3 -1 3 3 5 1 3+ 0 2 4 3 1 01 3 1 2 4 0 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是得与原方程组同解的方程组 3 3 5 x 3+ 2 X41 4 3 1 X2 2 3

第四章 线性方程组 3 2 2 1 1 3 1 1 3 7 1 ~ 0 1 244 1 ( ) 0 0 0 0 0 4 r r r   − − +     −−−      −   1 2 3 3 5 1 0 2 4 4 3 7 1 ~ 0 1 244 0 0 0 0 0 r r   −   −     −−−       于是得与原方程组同解的方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 , 2 4 4 x x x x x x  − + =    − − = − 

第四章线性方程组 3 3 5 X1= 3 即 2 3 1 x2 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 3 3 2 4 3 5= 2 5= 7-4 1 0 0 1

第四章 线性方程组 1 3 4 2 3 4 3 3 5 , 2 4 4 3 7 1 . 2 4 4 x x x x x x  = − +    = + −  即 原方程组所对应的齐次方程组的一个基础解系为 1 3 2 3 2 1 0          =           2 3 4 7 4 0 1    −      =          