《线性代数》课程教资源（学习指导，B）第一章 n阶行列式_第一章 内容精讲

第一章行列式 内容精讲 1.行列式的定义：由n2个元素a,亿，j=1,2.,m)组成的符号 a11a12·an aa2.an ala2.ann 称为n阶行列式 将此n阶行列式中元素a,所在的第i行和第j列划去后所留下的n1阶行 列式称为元素a的余子式，记作M,并称A=(←1Mn为元素a的代数余子式 注n阶行列式是由n2个元素a,所决定的一个数n=2时，定义 么aaa 若-1阶行列式已定义，则n阶行列式 a1a12.an aa:.a=an4+a4at.+a.4 aan2.an 其中A,U=1,2,.,n)为a,j=1,2,.,m的代数余子式 2.行列式的性质 (1)阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和： (2)行列式与其转置行列式相等： (3)互换行列式两行（列）的元素，行列式变号： (4)行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数k,等于用k乘此 行列式： (5)若行列式中有两行（列）完全相同，或有一行（列）的元素为零，或有 两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零：

第一章 行列式 内容精讲 1. 行列式的定义: 由 2 n 个元素 a (i, j 1,2, ,n) ij =  组成的符号 n n nn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为 n 阶行列式. 将此 n 阶行列式中元素 ij a 所在的第 i 行和第 j 列划去后所留下的 n-1阶行 列式称为元素 ij a 的余子式,记作 M ij ,并称 ( ) ij i j Aij M + = −1 为元素 ij a 的代数余子式. 注 n 阶行列式是由 2 n 个元素 ij a 所决定的一个数. n=2 时，定义 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 若 n-1 阶行列式已定义，则 n 阶行列式 n n n n nn n n a A a A a A a a a a a a a a a 11 11 12 12 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = + ++        其中 A1 j ( j = 1,2,  ,n） 为 a (i, j 1,2, ,n) ij =  的代数余子式 2.行列式的性质 （1）阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘 积之和； （2）行列式与其转置行列式相等； （3）互换行列式两行（列）的元素，行列式变号； （4）行列式中某一行 （列） 的所有元素都乘以同一数 k ，等于用 k 乘此 行列式； （5）若行列式中有两行（列）完全相同，或有一行 (列) 的 元素为零，或有 两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零；

(6)若两个n阶行列式D,D,除第i行（列）外其余对应的行列完全相同，则 D,+D,可表示成一个n阶行列式，其第：行（列）为D,和D,的第：行（列对应 元素之和，而其余各行（列）则与D,(或D,)完全一样： (7)把行列式任一行（列）的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列）对 应的元素上，行列式的值不变： (8)行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘 积之和为零， 3.几种特殊的行列式 (1)二阶行列式 an an (2)三阶行列式 an an a aa an a=++asdzas-ansaan-anazsan-anazas: asas a (3)上三角行列式 a22 =a1a2.am 0 a (4)下三角行列式 a 0 a22 =a1a2.am (⑤)对角行列式 0 a2 =auazamm' 0 4.行列式展开定理

（6）若两个 n 阶行列式 1 2 D ,D 除第 i 行(列)外其余对应的行列完全相同, 则 D1 + D2 可表示成一个 n 阶行列式，其第 i 行(列)为 D1 和 D2 的第 i 行(列) 对应 元素之和 ,而其余各行(列)则与 D1 (或 D2 ) 完全一样； （7） 把行列式任一行(列)的各元素同乘以一个常数后加到另一行（列）对 应的元素上,行列式的值不变； （8） 行列式中某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘 积之和为零， 3. 几种特殊的行列式 (1) 二阶行列式 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − ； (2) 三阶行列式 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − ； (3) 上三角行列式 nn nn a a a a a a   11 22 22 11 0 =  ； (4) 下三角行列式 nn nn a a a a a a   11 22 22 11 0 =  ； (5) 对角行列式 nn nn a a a a a a   11 22 22 11 0 0 = ， 4. 行列式展开定理

Dn=aA+a2,A,+.+agA（按行展开)： Dn=a1A1+a2A2+.+anAn（按列展开)， 5.Cramer法则 (1)非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组(b,b2,.,bn不全为0) aux +a2x2+.+anx =b ax+ax2++anx=b . amx+an2x2++amxn=b 若其系数行列式 a1a2. D= 21a22.a2n ≠0 . an an2.amn 则方程组有唯一解： s _D2 D, D 其中D,为D中的第j列元素用线性方程组的常数项b,b2,.,bn替换而得到的 行列式(=1,2，.n. (2)齐次线性方程组 a1x+a12x2+.+anxn=0 a21x1+a22x2++a2nxn=0 amx+an2x2+.+amnxn=0 有非零解的充要条件是系数行列式D=0

Dn = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anj Anj （按行展开）； Dn = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin （按列展开）， 5. Cramer 法则 (1) 非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组（ b b bn , , , 1 2  不全为 0）        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b         1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 若其系数行列式 0 1 2 21 22 2 11 12 1 =  n n nn n n a a a a a a a a a D        则方程组有唯一解： D D x D D x D D x n = , = , , = 1 2 1  ； 其中 D j 为 D 中的第 j 列元素用线性方程组的常数项 b b bn , , , 1 2  替换而得到的 行列式(j=1,2,.,n). (2) 齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     有非零解的充要条件是系数行列式 D=0