《数学分析》课程教学课件（讲稿）可微性与偏导数

§1可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性，这是多 元函数微分学最基本的概念.然后给出对单 个自变量的变化率，即偏导数.偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 前页

前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件

一、可微性与全微分 定义1设函散z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义.对子P(x,y)=(x+Dx,+Dy)iU(P),若f在 P的全增量Dz可表示为： Dz=f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo2yo) ADx+BDy+o(r), (1) 共中A,B是仅与点P,有关的常散，r=√Dx2+D2, 0(r)是r的高阶无另小量，则称f在点P,可傲. 并称(I)式中关子Dx,Dy的线性表达式ADx+BDy

前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 内有定 义.对于 若 f 在 的全增量 (1) 其中A,B是仅与点 有关的常数, 的高阶无穷小量, 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于

为f在P的全傲分，犯（作 dz le=df(xo2 yo)=ADx+BDy. (2) 电(1)，(2)可见，岁|Dx,|Dy|克分J时，全微分dz 可作为全馆量Dz的近似值，于是有近似公式： f(x,y)》f(x,y)+A(x-x)+B(y-y).(3) 在使用上，有时也把()式写成如下形式： D=ADx+BDy+a Dx+bDy, (4) 返里lima=limb=0. (D,Dy)®(0,0)(Dx,Dy)®(0,0) 前

前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 充分小时, 全微分 这里 (4) (2) 为 的全微分, 记作 可作为全增量 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： (3)

例1考察f(x,y)=xy在任一点(x,)的可微性. 解f在点(xo,y)处的全增量为 Df(xo2Fo)=(xo+Dx)(Jo+Dy)-xoYo =oDx+xoDy+DxDy. 由于IDxD=rDxI IDyL(0,) 因此DxDy=o(r)从而f在(K,J)可微，且 df=yoDx+xoDy. 前页

前页 后页 返回 例1 考察 解 f 在点 处的全增量为 由于

二、偏导数 由一元函数傲分学知道：若f(x)在x可微，则 f(+Dx)-f(x)=ADx+o(Dx),其中A=f4x). 现在来对轮：省二元函数∫(K,y)在点(Xoy0)可傲 时，()式中的常数A,B应取怎样的值？ 为此在(4式中先令Dy=0(Dx10),这时得到f关 于x的偏增量为 D=ADx+aDx或 =A+· Dx

前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 则 现在来讨论: 当二元函数 在点 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令

现让Dx®0，由上式便得A的一个极限表示式 4=lim D3=1imfx+Dc,)-fa）.(⑤) Dx®0D Dx®0 Dx 容易看出，（⑤）式右边的极限正是关于x的一元函数 f(x,yo)在x=七处的导数 类似地，在(4)式中令Dx=0(Dy10),又可得到 B=lim D, =1imfm+D)fn）,6) DyR0 Dy Dy®0 Dy 它是关于y的一元函数f(x,y)在y=y处的导数， 二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自 前门

前页 后页 返回 (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 类似地, 又可得到 (6) 它是关于 y 的一元函数 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自

变量的导数称为该函数的偏导数，一般定义如下： 定义2设函数z=f(x,y),(x,y)iD,且f(x,Jy)在 x的某邻域内有定义.则当极限 lim D3=lim f,+Dc,)-fnn） (7) Dx®OD Dx®0 Dx 存在时，称此极限为∫在点(x,y)关于x的偏导数， 记作 f(),或 f z x (x0) Ix

前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 则当极限 存在时, 称此极限为 关于x 的偏导数, 记作 定义 2 (7)

类似地可定义f在点(x,)关于y的偏导数： D, lim Dy®0Dy m ay) Dy®O Dy 记作 f(x),或 f z y (00) y (x0,J0) 注1这里 1,1 是专用于偏导数的符号，与一元 Ix y 函数的导数符号d相仿，但又有区别。 dx 前页页

前页 后页 返回 类似地可定义 关于 y 的偏导数: 记作 注1

注2在上迷定义中，∫在点（心，y)存在对x(或y) 的偏导数，此时f至少在 (x,y)y=yox-xokd (或{(x,y)川x=x,ly-<d})上必须有定义. 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数. 若函散？=f(x,y)在区域D上年一点(x,y)都存在 对X(或对y)的偏导数，则得到？=f(x,y)在D上 对x(或对y)的偏导函数（也简称偏导数），记作 前页

前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 存在对 x (或 y) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 在区域 D 上每一点 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作

才（比，）或fx,)E x或f四6 y 0 也可简地写作3，或，或 1r6 Iy e 偏导散的几何意义：？=f(x,y)的几何图象通常是 三雅空向中的曲面，设P(x0,y0,0)为此曲面业一 点，其中=f(0,o).过点P作平面y=y0,它与 曲面相交得一曲线： C:y=y0,?=f(x,y). 前过

前页 后页 返回 偏导数的几何意义: 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 为此曲面上一 点, 其中 曲面相交得一曲线：