《数学分析》课程教学课件（讲稿）关于实数集完备性的基本定理

§1关于实数集完备性的基本定理 在第一章与第二章中，我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则。这三个定理反映了实数的一种 特性，这种特性称之为完备性，而有理数集是 不具备这种性质的。在本章中，将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的基本定理 返回

一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性 前页 后页 返回

前页 后页 返回 一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性

一、区间套定理与柯西收敛定理 定义1设闭区间列a,bn}满足如下条件： 1.[an,bllam,bl,n=1,2,., 2.lim(b-a)=0, 1->00 则称{an,bn}为闭区间套，简称区间套 定义1中的条件1实际上等价于条件 a1≤a2≤.≤an≤.≤bn≤.≤b2≤b1 前页 返回

前页 后页 返回 定义1 n n 设闭区间列 满足如下条件 {[ , ]} : a b 1 1 1. [ , ] [ , ] , 1, 2, , n n n n a b a b n  = + + 2. lim( ) 0 , n n n b a →  − = {[ , ]} , . n n 则称 a b 为闭区间套 简称区间套 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 1 2 2 1 . n n a a a b b b         一、区间套定理与柯西收敛定理

定理7.1（区间套定理）若[an,b}是一个区间套， 则存在唯一的实数5，使 5e[an,bnl,n=1,2,., 或者 {5}=∩Lan,b n= 12.0.0n+l 5 .bnbn.bb 证由定义1的条件1可知，数列{}递增，有上界 b1·所以由单调有界定理，可知{a}的极限存在. 前页 返回

前页 后页 返回           n n+ a a a a 1 2 1 n n + b b b b 1 2 1 定理7.1(区间套定理) {[ , ]} , n n 若 a b 是一个区间套 则存在唯一的实数  , 使 [ , ], 1, 2, , n n   = a b n 或者 { } [ , ]. 1   = = n  an bn 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an }递增, 有上界 b1.所以由单调有界定理, 可知 {an } 的极限存在.                   x 

设 lima, n->o0 从而由定义1的条件2可得 limb lim(b-a)+lima=. n->oo 因为{a}递增，{b}递减，所以 an≤5≤bn, 这样就证明了5的存在性， 下面来证明唯一性.设5也满足 an≤51≤bn, 前顶 返回

前页 后页 返回 从而由定义1 的条件2 可得 lim = lim( − ) + lim =  . → → → n n n n n n n b b a a 因为 {an } 递增, {bn } 递减, 所以 , an    bn 下面来证明唯一性. 设 1 也满足 , an   1  bn lim , n n a → 设  = 这样就证明了  的存在性

那么5-5≤bn-an→0.即5=51，惟一性得证. 推论设{an,bn}是一个区间套，5∈an,bn, n=1,2,.则任给e>0,存在N,当n≥N时， la,b,IU(S;8). 证由区间套定理的证明可得： lima,limb,=5. n→0 由极限的保号性，对于任意正数ε，存在N, 前页 返回

前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b  → → = = 由极限的保号性, 对于任意正数  , 存在 N, 1 那么   −  − → 1 b a n n 0. 即  = , . 惟一性得证 [ , ] ( ; ). n n a b U    n = 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n  N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套, [ , ], n n   a b

当n≥N时，有 5-8<an,bn<5+e. 即5-&<an≤bn<5+e,这就是说 [an,bnJc(5-6,5+8). 注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记. 注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结 论不一定成立.例如对于开区间列 心小，显然 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 n n [ , ] ( , ). a b  − +     注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n             ， 当 时 有 n N  , , . n n     −   + a b n n 即     −    + a b , 这就是说

(=12 2日小 但是定理1中的5是不存在的，这是因为 =2 读者可以反思一下，对于{》 按照定理1的 证明过程，哪一步通不过？ 前页 返回

前页 后页 返回 但是定理1中的是不存在的, 这是因为 1 1 0, . n n  =     =    证明过程, 哪一步通不过? 1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n          =     + 1 2. lim 0 0. n→ n     − =   1 0 , 1 n             读者可以反思一下,对于 ， 按照定理 的

作为区间套定理的应用，下面来证明柯西收敛准 则，即证明数列{}收敛的充要条件是：对任意的 e>0,存在N,当m,n>N时，有n-am0,m,n>N时，有 a,-4至a小 因而有an-am<n-A+am-A<&. 前页

前页 后页 返回 对于任意正数 存在 时 有  , 0, , , N m n N   . 2 , 2   an − A  am − A  n m n m 因而有 a a a A a A −  − + −   . 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 证 (必要性) lim , , n n a A → 设 由数列极限的定义 = , , . m n N a a n m  > 0, 存在 N, 当 时 有  −  

(充分性)由题设，对于任意e>0,存在N,n≥N时， an-awN时，an∈(aw-&,aw+8) (注意：这并不能说明iman=aw) f十 Mw-￡MNLN+8 令e=2存在N,n≥N时，aea-2av,+》 取aA日4,4，+令6=2存在 前页 返回

前页 后页 返回 1 1 1 1 1 1 1 , , ( , ), 2 2 2 N n N a a a n N N 令 =   − + 存在 时, 1 1 1 1 2 1 1 1 [ , ] [ , ]. , 2 2 2 N N 取 a b a a = − + = 令 存在 . , ( , ). n N n N N a a n N a a a −    − +    即当 时 ( : lim .) n N n a a → 注意 这并不能说明 = ( ) 充分性 由题设 对于任意 存在 时 , 0, , ,    N n N N −  a aN +  aN x