《数学分析》课程教学资源（习题讲解）12-13数项级数函数项级数

作者：闫浩2011年9月 四、数项级数 1.meZ,m>0,计算，1 台n(n+m） 解：因为 11 1 11 1 mm+2+m+.N+N中. N+m) ,1,111 mN+1 N+1N+m 所以 为1 -Jim 1 n白1n(n+m）N→on1nn+m) ,1,1，,11 1 m N+1-N+2-N+m 2极数营，收敛当组仅当下列条件满是：》，=0.@含+0，收 n= 敛. 证明：必要性：因为lim S=lim∑a4存在，所以 n→∞k后 n-Sn-Sm-=5n-5n-1=0: lim S2n=lim Sn n-o0 n-→00 充分性：因为1imS2n=lim∑a%存在，且im4n=0,所以 k lim S2n+1=lim (S2n+uzn+1)=lim S2n+lim u2n+l=lim S2n. n-→0 n→0 n-0 n)00 n-o0 从而imSn存在。 3.设ma,=1.证明：若11，则级数2大收敏：者=1， n Page 28 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 28 of 49 四、数项级数 1． mÎ > Z m, 0 , 计算 1 1 n n( ) n m ¥ = + å ． 解：因为 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 (1 ) 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 1 1 N N n n n n m m n n m m m m N m m m N N N m m m N N N m = = = - + + = + + + + + + - + + + + + + + + + = + + - - - - + + + å å L L L L L L 所以 ) . 1 2 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 lim ( ) 1 lim ( ) 1 1 1 m m m m N N N m n n m n n m N n N N n = + + + ÷ ø ö ç è æ + - - + - + = + + + + - + = + ®¥ ¥ = ®¥ = å å L L L 2．级数 å ¥ n=1 un 收敛当且仅当下列条件满足：（1） lim = 0 ®¥ n n u ，（2） å ¥ = - + 1 2 1 2 ( ) n u n u n 收 敛． 证明：必要性：因为 1 lim lim n n k n n k S a ®¥ ®¥ = = å 存在，所以 lim = lim ( - 1 ) = lim - lim -1 = 0 ®¥ ®¥ - ®¥ ®¥ n n n n n n n n n u S S S S ； n n n n S S ®¥ ®¥ lim 2 = lim ． 充分性：因为 2 2 1 lim lim n n k n n k S a ®¥ ®¥ = = å 存在，且 lim = 0 ®¥ n n u ，所以 n n n n n n n n n n n S2 1 S2 u2 1 S2 u2 1 S2 lim lim ( ) lim lim lim ®¥ + ®¥ ®¥ + ®¥ + ®¥ = + = + = ， 从而 n n S ®¥ lim 存在． 3．设 lim n n a l ®¥ = ．证明：若l 1，则级数 1 1 n a n n ¥ = å 收敛；若l = 1

作者：月浩2011年9月 举例说明级数】可能收敛也可能发散 in% 正升因为原，=11，所以有在>0，当>M时，1，所春在>0，当a>M时a>=生>1，这时 0<11 又差改改所以罗 (3)81 n→01 =1,且至上发散：公收敛，因为 n=1n 店而·r义飘分 1 左-女-后兰收 敛. 注：当1-1时，也可考患级数工-又受 之。要·共致散性餐粮于？，自 1+9 nnz→L. Inn 4.正项级数判敛： (1)2n2-1 n1n3+2n-1 发账购1县 m二1n n T Page 29 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 29 of 49 举例说明级数 1 1 n a n n ¥ = å 可能收敛也可能发散． 证明：（1）因为 lim = ，当 N1 n > 时， 1 2 1 1 ，又 å = +¥ ¥ = +1 1 1 1 n N q n ，所以 å = +¥ ¥ =1 1 n an n ． （2）因为 lim = > 1 ®¥ a l n n ，所以存在 0 N2 > ，当 N2 n > 时， 1 2 1 2 > + > = l a q n ，这时 2 1 1 0 a q n n n < < ，又 å ¥ = +1 2 2 1 n N q n 收敛，所以 å ¥ =1 1 n an n 收敛． （3） å ¥ =1 + 1 1 1 n n n 发散，因为 lim 1 1 1 = ®¥ + n n n n ，且 å ¥ =1 1 n n 发散； 1 1 2 ln 1 n n n ¥ + = å 收敛，因为 1 1 ln 1 ln ln 1 1 1 n n n ne n n n + = = g ，且广义积分 2 ln ln 2 ln 2 1 1 2 x x x x dx dx dx xe e e +¥ +¥ +¥ = = ò ò ò 收 敛． 注：当 l =1 时，也可考虑级数 å å + = n q q n n n n ln ln ln 1 1 (ln ) 1 ，其敛散性依赖于 q ，但 1 ln ln ln 1+ ® n q n ． 4．正项级数判敛： （1） å ¥ = + - - 1 3 2 2 1 1 n n n n ； 解：发散，因为 1 2 1 ( 1) lim 3 2 = + - - ®¥ n n n n n ，且 å ¥ =1 1 n n 发散． （2） å ¥ =1 + 2 ) 2 1 sin( n n p ； 解：收敛，因为 2 ) 2 1 lim sin( 2 2 p p = ®¥ n + n n ，且 å ¥ =1 2 1 n n 收敛．

作者：闫浩2011年9月 (3)3np n=2 Inn 解：当p0时，收敛：当p≤0时，发散. o片a0 品圆职1，用收数 (6)Σmm,其中r>0 解：当r21时，通项不趋向于零，发散：当0c0用产≤石产疗·级数收敛 Page 30 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 30 of 49 （3） å ¥ =2 ln n p n n ； 解：当 p 0时，收敛；当 p £ 0 时，发散． （5） +L ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ ´ ´ ´ + ´ ´ + 1 4 7 10 1 3 5 7 1 4 7 1 3 5 1 4 1 3 1 1 ； 解：因为 1 3 2 3 1 2 1 lim lim 1 = 0 ． 解：当r ³ 1时，通项不趋向于零，发散；当0 ， ln 2 ln 2 1 1 1 (ln ) ( ) n n n e n £ = ，级数收敛．

作者：月浩2011年9月 0h 。产e户，所以na>1时，即a>e时收敛，其它情形发散。 1 (10)1+a+ab+a2b+a2b2+ab2+.+ab+ab+.a,b>0 解：加括号成为级数(1+a)+(ab+a2b)+(ab2+d2b2)+.+(ab+a+b)+. =1+a）+ab1+a)+a2b1+a)+.+ab1+a)+., 这是几何级数，公比为b,所以ab0)收敛，考查∑a2n的敛散 解：收敛： (12)sin'n ((p>0) ()(pi aw含la 5.一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛： ) n=I np 解：p≤0时发散：01时绝对收敛 (2)) l1+a” 解：d>1时绝对收敛：-1<a≤1时发散. w2-少-11 n+1四n Page 31 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 31 of 49 （9） ln 1 1 ( 0) n n a a ¥ = å > ； 解： ln ln ln ln 111 ( ) n a n a a e n = = ，所以ln 1 a > 时，即a e > 时收敛，其它情形发散． （10） 2 2 2 3 2 1 1 , 0 n n n n a ab a b a b a b a b a b a b + + + + + + +L L + + + > 解：加括号成为级数 2 2 2 3 2 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) n n n n a ab a b a b a b a b a b+ + + + + + +L L + + + 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n = + a + ab + a + a b + a +L L + a b a + + ， 这是几何级数，公比为ab ，所以 ab 收敛，考查 2 1 n n a ¥ = å 的敛散 解：收敛； (12) 2 1 sin ( 0) ( 1) p p n n p n n ¥ = > + å (13) 1 ln (1 )n n p n n ¥ = å - (14) 1 1 n ln(n!) ¥ = å 5．一般级数的判敛，并指出是否绝对收敛： （1） å ¥ = - - 1 1 ( 1) n p n n ； 解： p £ 0 时发散；0 1时绝对收敛． （2） å ¥ = - + - 1 1 1 ( 1) n n n a ； 解： a > 1时绝对收敛；-1 < a £ 1时发散． （1） 1 100 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n ¥ - = - - + å ；

作者：闫浩2011年9月 解：-11=1.2 n+n (n+n ,由于Leibniz形级数 2-ra2-raw 都收敛，所以原级数收敛。 1111111 w1店*方a店方石. 解宫部‘且 1 房4级云-豆>0. 所以{S4n}单调递增。 又因为 51方*方店*方方石石* +n=4n后+4m-五 11 11 =1+店4石万同 1 1 1 n-4n-n-可4-4= 1时发散： Page 32 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 32 of 49 解： 100 100 100 1 1 1 2 1 ( 1) n n n n n n - = - + + ，由于 Leibniz 形级数 1 100 1 1 ( 1)n n n ¥ - = å - ， 1 100 1 1 ( 1) ( 1) n n n n ¥ - = - + å 都收敛，所以原级数收敛． （4） - + - + - + - +L 8 1 6 1 7 1 5 1 4 1 2 1 3 1 1 ； 解： 4 1 1 1 1 1 ( ) 4 3 4 1 4 2 4 n n k S = k k k k = - + - - - - å ，且 1 1 1 1 0 4k 3 4k 1 4k k 2 4 - + - > - - - ， 所以 4 { }n S 单调递增． 又因为 4 111 1 1 1 1 1 3 2 4 5 7 6 8 1 1 1 1 4 3 4 1 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 5 4 6 7 9 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4( 1) 1 4 3 4( 1) 4 2 4 1 4 1 1 2 n S n n n n n n n n n n = - + - + - + - + + - + - - - - = + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1时发散；

作者：月浩2011年9月 当d1收敛，p≤1发散：当a=-1时，p≤0发散，01 绝对收敛 (6)°a” M % =0,所以级数绝对收敛 (7)a n2nP Inn an+l 一nPn叫=以，所以当d>1时发敢：当1收敛，p≤1发散：当a=-1时，p1 绝对收敛 ⑧票 回已如公Q:收致考空兰的敛敬 解：绝对收敛 6a>0,单调空a收敛明立a收敛 7.1mna,存在，∑a,-a)收敛，证明：∑a,收敛 8设x,为r+瓜-l=0的正根。确定α的范围。使得，收敛 五、函数项级数 1,考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明： w2+nHa:@2e-a+oo n-snx Page 33 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 33 of 49 当 a 1收敛，p £ 1发散；当a = -1时，p £ 0 发散，0 1 绝对收敛． （6） å ¥ =1 ! n n n a ； 解：因为 0 ! ( 1)! lim 1 = + + ®¥ n n n a n n a ，所以级数绝对收敛． （7） å ¥ n=2 ln p n n n a ． 解：因为 a a n n n n a n p p n n = + + + ®¥ ln ( 1) ln( 1) lim 1 ，所以当 a > 1时发散；当 a 1收敛，p £ 1发散；当a = -1时，p 1 绝对收敛． (8) 1 sin p n n n ¥ = å (9)已知 2 1 n n a ¥ = å 收敛,考查 1 n n a n ¥ = å 的敛散 解:绝对收敛 6. 0 n a > ，单调， 1 1 n n n a a ¥ + = å 收敛，证明： 1 n n a ¥ = å 收敛 7. lim n n na ®¥ 存在， 1 1 ( ) n n n n a a ¥ - = å - 收敛，证明： 1 n n a ¥ = å 收敛 8.设 n x 为 1 0 n x + nx - = 的正根，确定a 的范围，使得 1 n n x a ¥ = å 收敛 五、函数项级数 1．考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明： (1) 2 2 ln(1 ), n ln x x a n n ¥ = å + < ；(2) 5 2 1 , ( , ) n 1 nx x n x ¥ = Î -¥ +¥ + å ；(3) å ¥ = - - 1 sin ( 1) n n n x ．

作者：目浩201年9月 @2h+n2el+o）22r如齐xe0o) 1 o高e树 比较判别法知一致收敛. L心S:三上，且党二收敛，由i比较判别法知一致收。敛 +m72n2m2 n2n (③)莱布尼茨级数， 三，A”+1。放由制西收数准则知一致收致。 (4)设x.=nln2n,则u.(x)=n2不趋于0，故非一致收敛 ⑤设x=令，则，(，)→10不趋于0.故非一致收敛 烟品鞋-收8不华 x- 2.区网内有法续号数品，国=人+}网个]求证 (1)在任意闭区间[a,b上，{g(x)}一致收敛于f"(x): (2)m哈8nxd=f⑥-fa). 证明：()由中值定理 国=不+-/f+")o0 存在6>0，使得当-水k6时.V)-了0行则对于n>N, 取y=+0,则a-2-re国-ks,即s 敛于f(x): Page 34 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 34 of 49 (4) 2 2 ln(1 ), [1, ) n ln x x n n ¥ = å + Î +¥ （5） 1 1 2 sin , (0, ) 3 n n n x x ¥ = å Î +¥ (6) 2 2 n 1 (1 ) x x ¥ = + å , xÎ(-¥, ) +¥ 解：(1) 当 n 充分大时， n n a n n x 2 2 2 ln 3 ) ln ln(1+ £ ，且 2 2 n ln a n n +¥ = å 收敛，由 Weierstrass 比较判别法知一致收敛． (2) 2 3 2 5 2 1 2 1 5 2 n x n nx n x nx £ = + ，且 3 2 1 1 n 2n +¥ = å 收敛，由 Weierstrass 比较判别法知一致收敛． (3) 莱布尼茨级数， k x n x n p k n k 1 1 sin 1 sin ( 1) n 1 0 ， 存在d > 0 ，使得当 x y - ，则对于 n N > ， 取 n x n y x q ( , ) = + ,则有 ( , ) ( ) ( ) ( ) n x n f x f x f x g x n q e æ ö ¢ - ¢ ¢ ç ÷ + = - < è ø ．即 g (x) n 一致收 敛于 f ¢(x) ；

作者：月浩2011年9月 (2)对于一致收敛的g(x),可在积分号下取极限.然后利用牛顿一莱布尼茨公式. 3.设函数5)=。 0E明当0cLL>1), 手w在L)内连线三号sm在L,)内或 收敛，所以S(x)在(-L,L)内连续，从而S(x)在x=1连续， ms-2-于wm-2g- 4设，国eCa创eN,西数项级数交，国在a)内-致收效。E明 (1)∑4，(a),∑4n(b)均收敛： (2)∑4，(x)在[a,)上一致收敛 证明：用Cauchy一致收敛准则 (1)由条件s>0,3N,使得当n>N,任意自然数p,x∈(a,b)有 山n1(x)+山n2(x)++4n+p(x)<E() 又4n(x)eC[a,n∈N,在()中令x→a,即有 4(a）+4+2(a)+.+4+p(a≤E, 由数项级数Cauchy收敛准则，得∑，(@)收敛。 同理可证∑4，(6)收敛。 n=l Page 35 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 35 of 49 (2) 对于一致收敛的 g (x) n ，可在积分号下取极限．然后利用牛顿－莱布尼茨公式． 3．设函数 2 1 cos 3 ( ) n x x S x n n n = å p ¥ = ． （1）证明：当0 L > 1) ， 2 cos 3 n n x n x p 在(-L, L) 内连续， 2 0 cos 3 n x x n n n å p ¥ = 在 (-L, L) 内一致 收敛，所以S(x) 在(-L, L) 内连续，从而S(x) 在 x = 1连续， lim ( ) 1 S x x® 4 3 3 ( 1) cos 3 lim 0 2 0 1 = - = å p = å ¥ = ¥ = ® n n n n n n x n x x ． 4．设un (x)ÎC[a,b],nÎ N ，函数项级数å ¥ =1 ( ) n n u x 在(a,b) 内一致收敛，证明： （1） ( ), ( ) 1 1 u a u b n n n å n å ¥ = ¥ = 均收敛； （2）å ¥ =1 ( ) n n u x 在[a,b]上一致收敛． 证明：用 Cauchy 一致收敛准则 （1）由条件"e > 0,$N ，使得当n > N ，任意自然数 p ，"xÎ(a,b) 有 + + + < e + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n L n p （*） 又un (x)ÎC[a,b],nÎ N ，在（*）中令 ® + x a ，即有 + + + £ e + + + ( ) ( ) ( ) un 1 a un 2 a L un p a ， 由数项级数 Cauchy 收敛准则，得 ( ) 1 u a n å n ¥ = 收敛． 同理可证 ( ) 1 u b n å n ¥ = 收敛．

作者：目浩201年9月 (2)由上述证明可知，Ve>0,N,使得当n>N,任意自然数p,x∈[a,b] u1(x)+Wn+2(x)+.+n+p(x)≤6， 由Cauchy一致收敛准则知∑un(x)在[a,b]上一致收敛. = ()确定fx)的定义域D:(2)证明∑(：+”在D上不一致收敛： =l (3)证明fx)eC(D) n厂→ 所以水1时级数收敛小1时餐数发散时1时餐数为变和+分”与豆-0一》。 由1im,≠0知这两个级数发散，从而f(x)的定义域为(-1，). (2)用反证法，再利用上题结果 (3)只须证x。∈(-l,),fx)在x连续.事实上总36(ko<6<1),因对 Vn.ve-6. 由限式判做法可得交6+月”收致。所以变红+分”在5.上黄数致。又 (x+”eC-6,6],因而2(+”在[-d,0]上连续，由此可得f)在，连铁。 由xo的任意性，即有f(x)∈C(-1,1). 6.证明：函数Sx)=∑Vnx2em在0，+o)上有定义且有界. n=1 证明：x=0时，级数显然收敛：x≠0时 -8 Page 36 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 36 of 49 （2）由上述证明可知，"e > 0,$N ，使得当n > N ，任意自然数 p ，"xÎ[a,b] + + + £ e + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 u x u x u x n n L n p ， 由 Cauchy 一致收敛准则知å ¥ =1 ( ) n n u x 在[a,b]上一致收敛． 5．设函数 n n n f x x ) 1 ( ) ( 1 å ¥ = = + ． （1）确定 f (x) 的定义域 D ；（2）证明 n n n x ) 1 ( 1 å ¥ = + 在 D 上不一致收敛； （3）证明 f (x) ÎC(D) ． 解：（1） x n x n x n n n n + = + = ®¥ ®¥ 1 ) lim 1 lim ( , 所以 x 1时级数发散，x =1时级数为 n n n ) 1 (1 1 å ¥ = + 与 n n n n ) 1 ( 1) (1 1 å ¥ = - - ， 由 lim ¹ 0 ®¥ n n u 知这两个级数发散，从而 f (x) 的定义域为(-1,1) ． （2）用反证法，再利用上题结果． （3）只须证 ( 1,1) "x0 Î - ， f (x) 在 0 x 连续．事实上总 ( 1) $d x0 = = = í î> <

作者：月浩2011年9月 因此，Sx)=2Vnx2。m当≥0时收敛，x000，N,当n>N时，xe1有 f(x)-f(xN,有 (x)-fx)0,x∈I有f(xN,x∈I有 /(x0,xeI有 |f(x)kM,k=12,.,N. Page 37 of 49

作者：闫浩 2011 年 9 月 Page 37 of 49 因此， nx n S x nx e - ¥ = = å 2 1 ( ) 当 x ³ 0时收敛，x = > ，$N ，当n N > 时，" Îx I 有 ( ) ( ) 1 n f x - ，有 0 ( ) ( ) 1 n f x - 0," Îx I 有 0 ( ) n f x L n N ，" Îx I 有 ( ) ( ) 1 2 n f x Mk " Îx I 有 | ( ) | , 1, 2, , k k f x £ = M k N L ．