《数学分析》课程教学课件（讲稿）二元函数的连续性

§3二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分，其中 所讨论的函数，最重要的一类就是连续函数 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些；而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质，二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 前页

前页 后页 返回 §3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 返回

一、二元函数的连续性概念 必连续性的定义 定义1设f为定义在点集DR业的二元函数，P ID.若"e>0,Sd>0,只惠PiU(P;d)ID,就有 I f(P)-f(P)e, (1) 则称f关于集合D在点P连续.在不致误解的情形 下，也称f在点P连续。 若在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D 上的连续函数

前页 后页 返回 一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 若 只要 , 就有 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 定义1 设 f 为定义在点集 上的二元函数

由上述定义知道：若P是D的孤立点，则P必定是 f的连续点.若P是D的聚点，则f关于集合D在点 P,连续等价于 lim f(P)=f(P). (2) P®Po Pi D 如果P是D的聚点，而(2)式不成立（其含义与一元 函数的对应情形相同)，则称p是∫的不连续点( 称间断点).特别省(2)式左也极限存在，但不等于 f(P)时，P,是f的可去间断点. 如上节例1、2给出的函数在原点连续；例3、4、5

前页 后页 返回 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 ( 或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 时, 是 f 的可去间断点

给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数 改为 ìy f=e2， (x,y)i《x,y)川y=mx,x10}, m 1+m2 (x,y)=(0,0), 其中m为固定实数，亦即函数f只定义在y=mx 上，这时由于 lim t.of(x )=m (x,y)®(0,0) -f00, y=mx

前页 后页 返回 给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数 改为 上，这时由于 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在

因此f在原点沿着直线y=mx是连续的. 例1讨论函数 x fx,)=x2+y2,(x)'（0,0 a>0) 10, (x,y)=(0,0), 在坐标原点的连续性. 解由于当a>2且r®0时， |f(rcos9,rsing)川=-2(cosg)￡r2®0， 国此imf(x,川=0=f0,0,此时f在原点连

前页 后页 返回 在坐标原点的连续性． 因此 此时 f 在原点连 因此 f 在原点沿着直线 是连续的． 例1 讨论函数 解 由于当

续；币岁a￡2时，lim。f(x,y)不存在，此时f (x,y)®(0,0) 在原点向断 必全增量与偏增量 P(xo2 yo)P(x,y)I D,Dx=x-xo,Dy=y-o 称 Dz=Df(xo2 Yo)=f(x,y)-f(xo,yo) f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo2 yo) 为函数f在点P的全增量.和一元函数一样，可用增 量形式来描述连续性，即当

前页 后页 返回 续; 而当 不存在，此时 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增

lim D=0 (Dx,Dy)®(0,0) (x,y)I D 时，f在点P连续 如果在全量中取Dx=0或Dy=0,则相应得到的 增量称为偏增量，分别记作 Dx f(xo2 Yo)=f(xo+Dx,Yo)-f(xo2 Yo), D.f(xo2 o)=f(xo,yo+Dy)-f(xo2 o). 一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和

前页 后页 返回 时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和

若一个偏馆量的极限为零，如lim D.f(xo,y)=0, Dx®0 则表示省固定y=y时，f(K,y)作为x的函散，它 在x连续.同理，若1imD,f(x,y)=0,侧表示当 固定x=x时，f(x,y)在连续. 容易证明：当∫在其定义域的内点(x,y)连续时， f(K,y)在X与f(x,y)在都连续.但是反过来， 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性（除非另外增加条件）.例如二元函数

前页 后页 返回 若一个偏增量的极限为零, 如 则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在x0 连续. 同理, 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 在 y0 连续

1,xy10, f(x,y)=i 0,xy=0 在原点处显然不连续，但由于f(0,y)=fx,0)=0, 因此它在原点处对x和对y分别都连续 例2设在区域DiR2上f(x,y)分别对x和对y都 连续.弑证在下列条件之一满足时，f(x,y)在D上 处处连续： (①对其中一个变量（倒细y)满足李普希茨条件，即 $L>0,使得对任何(x,y),(x,y2)iD,恒有 前

前页 后页 返回 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 连续．试证在下列条件之一满足时， 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 使得对任何

f(x,y1)-f(x,y2)￡L1·y2: )对其中一个变量(x)的连续关于另一个变量y) 是一致的，即"x0,"e>0,$d>0(只与x,e有关， 而与y无关)，当|x-x0,$d1>0,当|x-<d时，有

前页 后页 返回 (ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 (iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i)