《数学分析》课程教学课件（讲稿）复合函数微分法

§2复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人，没有一个会 对复合函数微分法的重要性产生怀疑，可以 毫不夸张地说，谁不懂得复合微分法，谁就 会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的全微分 前页 回

前页 后页 返回 §2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会 对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以 毫不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就 会在计算导数或偏导数时寸步难行. 二、复合函数的全微分 返回 一、复合函数的求导法则

一、复合函数的求导法则 设函数 x=j(s,t)与y=y(s,t) (1) 定义在St手面的区域D上，函款 3=f(x,y) 2) 定义在y平面的区域D业.若 (x,y)x=j(s,t),y=y (s,t),(s,t)i Di D, 则可构成复合函数： 前页

前页 后页 返回 一、复合函数的求导法则 设函数 (1) 定义在 平面的区域 D 上, 函数 (2 ) 定义在 xy 平面的区域 上. 若 则可构成复合函数:

=F(s,t)=f(j(s,t),y (s,t)),(s,t)I D. (3) 其中(1)为内函数，(2)为外函数，(x,y)为中向意量， (5,t)为自意量. 下面将讨论复合函数F的可微性，并导出F的偏导 数与全微分的复合运算法则. 定理17.5若x=j(s,t),y=y(s,t)在点(s,t)ID可 傲，=f(x,y)在点(x,y)=0(s,t)y(s,t)可傲，则 复合函数x=f(U(s,t)y(s,t))在点(s,t)可微，且 关于s与t的偏导数分别为 前顶

前页 后页 返回 (3) 其中 (1)为内函数, (2) 为外函数, ( x, y ) 为中间变量, ( s, t )为自变量. 下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导 数与全微分的复合运算法则. 定理17.5 若 在点 可 微， 在点 可微, 则 关于 s 与 t 的偏导数分别为 复合函数 在点 可微，且

z +3 ×心 Is (s)Ixr) ss,)y,) ss,1) (4) ✉ x t (s.)Ix()It (s Ty (x,)Tt (s,t) 证 由假设x=j(s,t),y=y(s,t)在点(s,t)可微，于 是 Dx= Ds+D+a:Ds+D, (5 s t Dy Ds+D+a2Ds+b2Dt, (6) Is t 前页

前页 后页 返回 (4) 是 (6) 证 由假设 在点 可微, 于 (5 )

其中(Ds,D)®(0,0)时(a1,b1,42,b2)®(0,0,0,0). 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，故有 Ds-iDx+Dy+aDx+bDy, (7) Ix y 其中(Dx,Dy)®(0,0)时，(a,b)®(0,0)，并可补充 定义：当Dx=Dy=0时，a=b=0. 现把（⑤），（⑥）两式代入()式，得到 -咖waw+6, x“o4s 前

前页 后页 返回 (7) 现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式，得到 其中 时 又由 在点 可微, 故有 其中 时， 并可补充 定义: 当 时

Ds Dd:Ds+:Dr 亦 6ě7s t 0 整理后又得 D:-+xy6Ds Tx Is Iy Tso xD+a Ds+6D1, (⑧) ěIx Tt Ty Ito 其中

前页 后页 返回 整理后又得 其中 (8)

由于5为数5) R马l. 令品 4(U,U) (0,0),从而也有(a,b)®(0,0)，以及 (a1,b1,a2,b2)®(0,0,0,0). 于是在(9)，(10)两式中，当(Ds,Dt)®(0,0)时，有 一)k知合.U八” 并求得z关于s和t的偏导数公式(4). 前页

前页 后页 返回 并求得 z 关于 s 和 t 的偏导数公式 (4)． 从而也有 以及 于是在 (9), (10) 两式中, 当 时, 有

公式(4)也称为链式法则 注如果只是求复合函数f(j(s,t)y(s,t))关于s或 t的偏导数，则上述定理中x=j(s,t),y=y(s,t)只 须具有关于s或t的偏导数就够了.因为以Ds或 Dt除(T式两边，然后让Ds®0或Dt®0，也能得 到相应的结果.但是对外函数∫的可微性假设是不 能轻易省略的，否则上述复合求导公式就不一定成 立.例如

前页 后页 返回 公式 (4) 也称为链式法则 ． 能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成 立．例如 注 如果只是求复合函数 关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 只 须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 因为以 或 除(7) 式两边, 然后让 或 也能得 到相应的结果. 但是对外函数 的可微性假设是不

i x2y f(x,y)=i x2+y2 ,x2+210, 0,x2+y2=0. 由§1习题6已知f(0,0)=f,(0,0)=0,但f(x,y) 在点(0,0)不可微.若以f(x,y)为外函数，x=t,y=t 为内函数，则得到以t为自变量的复合函数 =0=0=号 有止。】若形式地使用法则(4，将得出错误结论： dt

前页 后页 返回 为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数 由 §1 习题 6 已知 但 在点(0,0) 不可微. 若以 为外函数

dz + dt 1=0 x0,0)dtt=0 y0,0)dtt=0 =0'1+0'1=0. 通说明：在使用链式法刚时，必须注意外函散可傲 这个条件 一般地，若f(41,L,Wm)在点(41，L,4m)可微，函数组 4k=8k(x1,L,xn)(k=1,2,L,m) 在点(x,L,xn)具有对于x,(i=1,2,L,n)的偏导数， 则复合函数

前页 后页 返回 这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微 这个条件