《数学分析》课程教学课件（讲稿）方向导数与梯度

§3方向导数与梯度 在许多问题中，不仅要知道函数 在坐标轴方向上的变化率（即偏导数）， 而且还要知道在其他特定方向上的变 化率，这就是本节所要讨论的方向导数 前页

前页 后页 返回 §3 方向导数与梯度 在许多问题中, 不仅要知道函数 在坐标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且还要知道在其他特定方向上的变 化率,这就是本节所要讨论的方向导数. 返回

必方向导数的概念 定义1设函数f(x,y,)在点P(x,0)的某邻域 U(P)iR3内有定义，1为从点P,出发的射线.任 给P(x,y,z)i11UV(P),记r=|P,P1若极限 lim Dif=lim, (P)-f(Po) P®0+ r®0 存在，则称此极限为函数∫在点P沿方向，的方向 导数，记作 活1咬行p

前页 后页 返回 ※ 方向导数的概念 定义1 设函数 导数, 记作 存在, 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 给 若极限

不难看出：若 存在对x的偏导数，则 J 在点 沿x箱正方的方修导致恰为 -® f仍(P)=f(P)(I=+Ox)片 当的方向为x轴的负方向时，则有 f所(P)=-f(P)(1=-Ox)5 对于以 必方向导数与偏导数之间的一般关系 定理17.6若1

前页 后页 返回 ※ 方向导数与偏导数之间的一般关系 当 的方向为 x 轴的负方向时，则有

在点P,沿任一方向的方向导数都存在，且 fi(Po)=f(Po)cosa +f(P)cosb+f(P)cosg,(1) 其中cosM,cosb,c0sg 为1的方向余弦. 证设P(x,y,z)为 1上任一点，于是 有（参见图17-5） 图17-5

前页 后页 返回 图 17 – 5 其中 证 设 为 有 (参见图17 – 5 ) 在点 沿任一方向 的方向导数都存在, 且 为 的方向余弦． 上任一点，于是

Dx=x-xo=r cosa,ii i Dy =y-yo=r cosb,y (2) Dz=z-z0=rc0Sg·b 由假设f在点P,可微，则有 f(P)-f(Po)=f (P)Dx+f(P)Dy +f.(P)Dz+o(r). 上式左、右两边皆除以 () 并根据 式可 前顶

前页 后页 返回 (2) 由假设 在点 可微，则有

()(((D +f:(Po zo(r) rr -(P)cosa+)+()cosg() 因为lim ofr）=0,所以上式左边的极限存在： r®0 ()lim f(P)-f(P) r®0 f(P)cosa +f(P)cosb +f (Po)cosg. 前页

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对于二元函数∫(x,y)来说，相应于(1)的结果为 (x02yo)=f(xo,Yo)cosa +f(xo Yo)cosb,(2) 其中a,b是R2中向量1的方向角. 厂J、 例1 沿着指向点P(3,-1,2)方向的方向导数. 解易见f在点P,可微.故由 f(P)=1,f(P)=2,f(P)=3, 以及1=P,D=(2,-2,1)的方向余弦 前顶

前页 后页 返回 解 对于二元函数 来说, 相应于 (1) 的结果为 其中 是 中向量 的方向角．

2 2 cosa V22+(2)2+12 3 -2 -2 cosb V22+(2)2+12 3 1 1 V22+(-2)2+12 31 按公式()可求得 分)1号+2餐 2 20,、.11 3÷+3×9 33 前过

前页 后页 返回 按公式 (1) 可求得

例2设函数 1,当0<y<x2,-￥<x<￥时， f(x,y)=i 0,其余部分. 此函数示于图16-15，已知它在原点不连续（当然 也就不可微).但在始于原点的任何射线上，都存在 包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值 恒为零.于是由方向导数定义，在原点处沿任何方 向1都有f5(0,0)=0

前页 后页 返回 例2 设函数 此函数示于图 16 – 15, 已知它在原点不连续 (当然 也就不可微)．但在始于原点的任何射线上, 都存在 包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值 恒为零. 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方 向 都有

说明（①函数在一点可傲是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (函散在一点连续同样不是方向导散存在的必要 条件，当然也不是充分条件（对此读者应能举出反 例) 必梯度的概念 定义2啊如少第 变量的偏导数，则称向量 函数

前页 后页 返回 说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也不是充分条件 ( 对此读者应能举出反 例 )． ※ 梯度的概念