《数学分析》课程教学课件（讲稿）隐函数

§1隐函数 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论 隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出 于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后 面研究隐函数组的存在性问题打好了基础. 一、隐函数概念 二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理 四、隐函数求导数举例

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一、 隐函数概念 显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如： y=1+sin3x,=/x2+y2. 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 方程式所确定的函数，通常称为隐函数.例如： x23+y213=a213,x3+y3+z3-3y=0. 隐函数一般定义：设EiR2,F:E®R,和方程

前页 后页 返回 方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如： 一、隐函数概念 显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如： 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 隐函数一般定义：

F(x,y)=0. (1) 若存在DJ广R,使得对任一xi,有惟一确定的 yIJ与之对应，能使(x,y)IE,且满足方程()， 侧称由方程(1)确定了一个定义在L,值域含于J 的隐函数.如果把此隐函数记为 y=f(x),xI I,yI J, 则成立恒等式 F(x,f(x)°0，xII. 前顶

前页 后页 返回 则成立恒等式 有惟一确定的 与之对应, 能使 且满足方程 (1) , 则称由方程 (1) 确定了一个定义在 , 值域含于 的隐函数. 如果把此隐函数记为

注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数.上面把隐函数仍记为y=f(x),这 与它能否用显函数表示无关. 注2不是任一方程F(x,y)=0都能确定隐函数， 例如x2+y2+1=0显然不能确定任何隐函数. 注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的 取值范围.例如由方程x2+y2=1可确定如下两 个函数： 前页

前页 后页 返回 取值范围．例如由方程 可确定如下两 个函数： 注2 不是任一方程 都能确定隐函数, 例如 显然不能确定任何隐函数． 注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数．上面把隐函数仍记为 ，这 与它能否用显函数表示无关． 注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的

y=f()(=1-x2),xi-1,1l,yi[0,1]; y=f2(x)(=-V1-x2),xi[-1,1l,yi【-1,0 注4类似地可定义多元隐函数.例如：由方程 F(x,y,)=0确定的隐函数z=f(x,y),由方程 F(x,y,w)=0确定的隐函数u=f(x,y,),等 等 在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题 前

前页 后页 返回 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题. 注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程 确定的隐函数 由方程 确定的隐函数 等 等

二、隐函数存在性条件分析 要讨论的问题是：当函数F(x,y)满足怎样一些 条件时，由方程(1)能确定隐函数y=f(x),并 锼隐函数具有连续、可微等良好性质？ (a)把上述y=f(x)看作曲面z=F(x,y)与坐标 平面z=0的交线，故至少要求该交集非空，即 SP(x),满足F(x,)=0,y=f(x). (b)为使y=f(x)在x连续，故要求F(x,y)在点 P连续是合理的

前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 , 并 使 要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 看作曲面 与坐标 平面 的交线，故至少要求该交集非空，即 ，满足 连续是合理的． (b) 为使 在 连续，故要求 在点

(c)为使y=f(x)在x可导，即曲线y=f(x)在 点P存在切线，而此切线是曲面z=F(x,y)在点 P的切平面与？=0的交线，故应要求F(x,y)在 点P可微，且(F(x,),F(x,)(0,0). (d在以上条件下，通过复合求导数，由(1)得到 F(xs训r(+Ek,)n fax)=.E(x) F(xo2yo) 由此可见，F(x)10是一个重要条件. 前页

前页 后页 返回 由此可见， 是一个重要条件． 点 存在切线，而此切线是曲面 在点 的切平面与 的交线，故应要求 在 (c) 为使 在 可导，即曲线 在 点 可微，且 (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到

三、隐函数定理 定理18.1（隐函数存在惟一性定理）设方程(1)中 的函数F(x,y)满足以下四个条件： ①在以P(x,o)为内点的某区域DiR2上连续； (F(,o)=0(初始条件)： 在D内存在连续的偏导数F,(x,y方 (iv)F(xo2Fo)1 0. 则有如下结论成立： 前过

前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 满足以下四个条件： (i) 在以 为内点的某区域 上连续； (ii) ( 初始条件 )； (iii) 在 内存在连续的偏导数 ； (iv) 则有如下结论成立：

1°存在某邻域U(P)iD,在U(P)内由方程(1) 惟一地确定了一个隐函数 y=f(x),xI (xo-a,xo+a), 它满足： f(o)=o,且当xi(x-a,x+a)时，使得 (x,f(x)iU(P),F(x,f(x)°0； 2°f(x)在(x-M,x,+a)上连续. 证首先证明隐函数的存在与惟一性. 证明过程归结起来有以下四个步骤（见图18一1）： 前页 返回

前页 后页 返回 在 上连续． 惟一地确定了一个隐函数 它满足： , 且当 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图18－1 )： 存在某邻域 ，在 内由方程 (1)

y y %+b +++ %+b Yo L+ ** 千+ yo + %-b ++1+ + %-b Oob xoxo+bx Oob xxo+bx (a一点正，一片正 b)正、负上下分 +土+土 ++++ yo+b T U(Po) Yo yo y=f(x) yo-b Yo-b xo-a xo-a xo+a (c)同号两边伸 (利用介值性 图18-1 前

前页 后页 返回 (c) 同号两边伸 ＋＋＋＋ － － － － (d) 利用介值性 ＋＋＋＋ － － － － (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ _ _ _ + _ 0 (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 图 18－1