《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5.3 相似矩阵_5.3 相似矩阵

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线性代数第五章 一、矩阵相似 定义5.3.1设A,B都是阶矩阵，若有可逆矩阵P,使 PAP=B, 则称B是的相似矩阵，或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P'AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P 被称为把A变成的相似变换矩阵. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 一、矩阵相似

线性代数第五章 矩阵相似的简单性质： 1.等价关系 (1)A与A本身相似（自反性）： (2)A与B相似，则B与A相似（对称性）； (3)A与B相似，B与C相似，则A与C相似（传递性）. 2.若A与B相似，则Am与Bm相似（m是正整数). 矩阵相似还有一些重要性质， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 1. 等价关系 矩阵相似的简单性质: (1) A与A本身相似(自反性 )； (2) A与B相似，则B与A相似(对称性 )； (3) A与B相似，B与C相似，则A与C相似(传递性 ). 2. 若A与B相似，则 与 相似（m是正整数）. 矩阵相似还有一些重要性质

线性代数第五章 定理5.3.1若阶矩阵A与B相似，则A与的特征多项 式相同，从而A与的特征值亦相同. 证明若A与B相似，则存在可逆阵P,使得P'AP=B B-IE=PAP-PIE)P =P(A-1E)P =P A-IE P A-IE. 即A与B的特征多项式相同， 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明 即A与B的特征多项式相同

线性代数第五章 推论1若n阶方阵A与B相似，则 Tr(A=Tr(B),A=|B。 推论2若阶方阵A与对角阵 1 ù e L= e 12 ú ú e 0 ú e i e 相似，则l1,l,L,l即是4的个特征值. 若方阵A与对角阵相似，则称方阵A可对角化、 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 推论1 若n阶方阵A与B相似，则 Tr(A)=Tr(B)，|A|=|B|。 若方阵A与对角阵相似，则称方阵A可对角化

线性代数第五章 二、矩阵可对角化的条件 定理5.3.2n阶方阵A可对角化的充要条件是4A有 n个线性无关的特征向量. 证明："D"假设存在可逆阵P,使PAP=L为对角阵， 把P用其列向量表示为P=P1,P2L,Pm 由P1AP=L,得AP=PL, e ù e 即AD,PL,卫F,P,L,p酸 12 ú ú e =l1p1,l2p2,L,lnpnǜ 0 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 证明: 二、矩阵可对角化的条件

线性代数第五章 Ap,P2,L,pAp,Ap2,L,Ap =1p1,l2P2,L,1npn日 于是有p,=l;p,(i=1,2,L,m. 由此可见，1是4的特征值，而P的列向量p,就是 A的对应于特征值1的特征向量. 又由于P可逆，所以P1,P2,L,pn线性无关。 反之，由于A恰好有个线性无关的特征向量， 这个特征向量即可构成可逆矩阵P,使P1AP=L. 版权所有：山东理工大学理学院

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线性代数第五章 推论如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A与对角阵相似，即A可对角化， 注意：此推论的逆命题不成立。 即，方阵A有n个互不相同的特征值，只是A可 对角化的充分条件，但不是必要条件： 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A与对角阵相似，即A可对角化． 注意：此推论的逆命题不成立。 即，方阵A有n个互不相同的特征值，只是A可 对角化的充分条件，但不是必要条件

线性代数第五章 é3-1ù 列1判断下面阵A3能香对角化2 解由1A-1E=0得，A的特征值为2,4.A有两个 不同特征值，因而A可以对角化 进一步，可求出可逆阵P,使得 e20ù e11ù PAP= 04 其中P= 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解 由 得，A的特征值为2, 4. A有两个 不同特征值，因而A可以对角化. 进一步，可求出可逆阵P，使得

线性代数第五章 e-110ù 判断矩阵B-食43 0能否可对角化？ e10 2 解由B-1E=0得，B的特征值为2,1. 再由(B-1E)x=0可求得，B属于特征值2,1并且 是线性无关的特征向量分别为 é0ù é1ù e P1= D:=826 ú 1 -1H B只有两个线性无关的特征向量，因而B不能对角化 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第五章 版权所有：山东理工大学理学院 解 由 得，B的特征值为2，1. 再由 可求得， B属于特征值2，1并且 是线性无关的特征向量分别为 B只有两个线性无关的特征向量，因而B不能对角化