《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章 n阶行列式_1.2 n阶行列式的性质_1.2 n阶行列式的性质

线性代数第一章 §1.2 行列式的性质 一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结思考题 [上页 下页 返回 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 三、小结 思考题 二、应用举例 一、行列式的性质 §1.2 行列式的性质 上页 下页 返回

线性代数第一章 ·、行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单， 但对一般的行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大为 简化行列式的计算，下面我们来讨论行列式的性质.首先介 绍一个重要的定理. 由上节阶行列式的定义式可知，n阶行列式可表示 为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因 此，行列式可看作按第一行的元素展开的，事实上，行 列式可按任意一行（列）展开. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 一、行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单， 但对一般的行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大.为 简化行列式的计算，下面我们来讨论行列式的性质.首先介 绍一个重要的定理. 由上节n阶行列式的定义式可知，n阶行列式可表示 为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因 此，行列式可看作按第一行的元素展开的，事实上，行 列式可按任意一行（列）展开

线性代数第一章 定理1.2.1阶行列式等于它的任意一行（列的元素 与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D=41A1+a2A2+.+4nAn(i=1,2,L,n) 或 D=41yA+2jA2,+.+anAw(j=1,2,L,n） 推论如果n阶行列式中的行所有元素除a,外都为 零，那么行列式就等于4与其对应的代数余子式 的乘积，即 D=aAi 版权所有：山东理工大学理学阮

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 定理1.2.1 n阶行列式等于它的任意一行(列)的元素 与其对应的代数余子式的乘积之和，即 或 零，那么行列式就等于 推论 如果n阶行列式中的i行所有元素除 外都为 与其对应的代数余子式 的乘积，即

线性代数第一章 411412 n 设n阶行列式 D= 421 22 a2n 0 an an2 ann 若把D中每一行元素换成同序数的列元素，则的新行列式 411421 an DC= 01222 2n 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 设n阶行列式 若把D中每一行元素换成同序数的列元素，则的新行列式

线性代数第一章 性质1行列式与它的转置行列式相等 411 a12 ain 0 例如，上三角行列式： D- u22 a2n 0 0 .ann 由性质1即得 am 0 0 0 D=DC= 022 =011422.0m ●●● 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 例如，上三角行列式: 由性质1即得 性质1 行列式与它的转置行列式相等

线性代数第一章 性质2互换行列式的两行（列)，行列式变号. d11 12 d12 ain n l12 。 m \Qst 0s2 sn D= as 0,2 asn 1 L12 n . l an2 am an2 a nn 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号

线性代数第一章 例如 175 17517 5 715 66 2=-358,662=-662. 358662 358 538 推论如果行列式有两行（列)完全相同，则 此行列式为零. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零

线性代数第一章 性质3行列式的某一行（列)中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式. 411412L ain 411412L ain LLLLLLL LLLLLLL kan ka2 L kain=kai ai2 L ain LLLLLLL LLLLLLL am an2 L anl an2 L 证略 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k，等于用数k乘此行列式. 证略

线性代数第一章 推论1行列式的某一行（列)中所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外面. 推论2若行列式中有一行（列)元素全为零， 则此行列式为零. 推论3若行列式中有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零. 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 推论3 若行列式中有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零． 推论2 若行列式中有一行（列）元素全为零， 则此行列式为零． 推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公 因子可以提到行列式符号的外面．

线性代数第一章 性质4 11 L12 D- bi+cn bi2 十Ci2 bin 十Cim ●●● ●●● ●●0 a n2 版权所有：山东理工大学理学院

线性代数 第一章 版权所有：山东理工大学理学院 性质4