《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第五章 定积分_5-3 定积分的换元法与分部积分法

第三为 第五章 定积分的换无法和 分部积分法 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 [分部积分法 (分部积分法 一、 定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章

一、定积分的换元法 定理1.设函数f(x)口C[a,b],单值函数x☐□(t)满足 1)□(t)0C[0,□]，口(0)0a,☐（☐）口b: 2)在[口，▣上a□□(t)□b, 则 fxxC4f[oQ)d1 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在， 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[■(t)]是f[口(t)]口)的原函数，因此有 (x)dx F(b)F(a)F)] gf[C)1o0)d

一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 则

f(xx4fI()a)di 说明： 1)当口<口，即区间换[口，口]时，定理1仍成立 宁必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用，即 4C()p)dD☑f(x)dx(令x☐) 或配元 IC()]口0d1口4fI(0]d口(0 配元不换限

说明: 1) 当￾ < ￾ , 即区间换 为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限

例1.计算 Na?x2 dx (a 0) 解：令x☐asnt,则dx☐acostdt,且 当x☐0时，t口0：xDa时，t口5 .原式=a2cos21d a 2 元a

例1. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且

例2.计算 解：令t=cosx,bdt=-sin xdx. x=0D1=1,x=2b1=0. 2 cosxsin xdx=-dt et 1 6品 6 实际上 cos'snd=-d cos'xd(cosx) ecos6xù21 e 6 6

解: 令 例2. 计算 实际上

例3.计算 解：Qfg)=Vsin'x-sin=-lcosx(sinx） vsin'x-sin'xdrcos(sin x)dx cosx(sinxdrcosx(sinx)de (sinx)d(sinx)(sinxd(sinx)

例3. 计算 解:

arcsin√x 练习.计算 dx. 2J0-)

练习. 计算

4x▣2 例4.计算 dx 02x1 解：令102x可，则xD2四 dx Otdt,且 2 当x□0时，1☐1：x口4时，t☐3. 32☐2 原式 2 s号

例4. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且

例5.设f(x)口C[a,a] 偶倍奇零 (1)若f(O)口f(x),则f(x)drD2f(x)d (2)若f(O)0□f(x),则g点f(x)dr0 证：兰fx)dx)dx口gf(x)d o/(0)d1口g/(x)d ▣点f(Ox)□f(x)]d 2g/(x)dr,f()口f(x)时 0 f(口x)▣▣f(x)时

例5. 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零

例6. (1) (2) 证明：（①设x=号-1pk=业， 2 x=0p t= x=2pt=0 2 f(sin x)dx=- ě200 f(cos!)d=(cosx)d:

例6. (1) (2) 证明：(1) 设