《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-5 函数的极值与最大值最小值

第五节 第三章 画数的极值与 最大值最小小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题

二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三章

一、函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x☐(a,b) 若存在x。的一个邻域，在其中当x口xo时， (1)f(x)口f(x),则称o为f(x)的极大值点， 称f(xo)为函数的极大值； (2)f(x)口f(x),则称xo为f(x)的极小值点， 称f(x)为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点

定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 一、函数的极值及其求法

例如，函数f(x)☐2x3口9x2☐12x☐3 x口1为极大值点，f1)口2是极大值 x口2为极小值点，f(2)口1是极小值 12 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大值点 x2,x5为极小值点 x3不是极值点 a X1 X2 X3 X4

注意: 为极大值点 为极小值点 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 , 为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数

定理1（极值第一判别法 设函数f(x)在x。的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)∫Cx)“左正右负”则f(x)在x。取极大值 (2)fx)“左负右正”则f(x)在x。取极小值 点击图中任意处动画播放暂停

定理 1 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 点击图中任意处动画播放\暂停

例1.求函数f(x)口(x□I)x3的极值 解：)求号数f)c(x)峰暖 2)求极值可疑点 令f0)☐0，得口2：令fx)□口，得x2□0 3)列表判别 (，0) 0.3是层，口) f( 0 f(x ☐0.33 口x口0是极大值点，其极大值为f(O)口0 x□二是极小值点，其极小值为f()口D.33

例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大值点，其极大值为 是极小值点，其极小值为

定理2（极值第二判别法）设函数f(x)在，点x处具有 二阶导数，且fxo)口0，fx)口0 (I)若fx)口0，则f(x)在点xo取极大值； (2)若f)☐0，则f(x)在点xo取极小值 证：(1)fxo)0lim )口fC) ▣lim ( x00 x口xo x06x□x0 由fo)口0知，存在口口0，当0口x□x口口时 f(x)o x口xo 故当x□口口x口x时，fx)口0 当x口x口x00时，fx)口0， 由第一判别法知f(x)在x,取极大值 (2)类似可证

定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证

例2.求函数f(x)口(x2□1)3☐1的极值 解：1)求导数 f)☐6x(x2☐1)2.f0x)☐6(x2☐1)(5x2☐1) 2)求驻点 令fx)□0，得驻点x1口口，x2□0，x3☐1 3)判别 因f0)☐6口0，故f(0)口0为极小值： 又f口)口f四)口0，故需用第一判别法判别 由于fx)在x口▣左右邻域内不变号 口f(x)在x口口没有极值

例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别

定理3（判别法的推广：拐点的判别法） 具有三阶导数，且 则f(x)的图形经过点x0由凹变凸； 则f(x)的图形经过点xo由凸变凹， 所以 如：对于 且

定理3 (判别法的推广:拐点的判别法) 具有三阶导数 , 且 则 的图形经过点 由凹变凸; 则 的图形经过点 由凸变凹. 所以 如： 对于 且

例如，例2中f(x)☐(x2口1)3口1 f0x)口24x(5x2☐3)，f四☐)口0 说明：极值的判别法（定理1~定理3）都是充分的 当这些充分条件不满足时，不等于极值或拐点不存在

例如 , 例2中 说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值或拐点不存在

二、最大值与最小值问题 若函数f(x)在闭区间a,b]上连续，则其最值只能 在极值点或端点处达到· 求函数最值的方法： (1)求f(x)在(a,b)内的极值可疑点 X1,X2，□，Xm (2)最大值 M☐max□f(x),f(x2).☐，f(xm),f(a),f(b)[ 最小值 m口min(x),f(x2),口，f(xm),f(a),f(b)

二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值