《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-6极限存在准则 两个重要极限

第之节 极浪存在准则 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 二、两个重要极限

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

1.数列极限的夹逼准则（准则I) (0)ym≤xm≤2n(n=1,2,） lim xn a (2)lim yn lim zn =a n→00 n-→0 证：由条件2)，V8>0,3N1,N2, 当n>N1时，yn-aN2时，2n-a N时，有 a-8<yn<a+8,a-8<zn<a+8, 由条件(1) a-E<yn≤xn≤2n<a+e 即xm-a<6,故lim=a. n-→0

y z a n n n n     (2) lim lim 1. 数列极限的夹逼准则（准则I） (1) y  x  z ( n  1, 2 , ) n n n x a n n   lim 证:由条件 (2) ,   0 , , N1 当 时, 当 时, 令 max ,  , N  N1 N2 则当 n  N 时, 有 由条件 (1) n n n a    y  x  z  a   即 x  a   , n 故 lim x a . n n   , N2

2.函数极限存在的夹逼准则（准则'） 当x∈U(x,8)时，g(x)≤f(x)sh(x),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0 (x→0 lim f(x)=A X→xo

2. 函数极限存在的夹逼准则（准则Iʹ） ( , ) , 当 x U x0  时   g x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0 g ( x)  f (x)  h( x) , f x A x x   lim ( ) 0 ( x  X  0 ) (x  ) (x  ) (x  ) 且

例1求lim( 解 n m㎡+ +++n+ 又lim lim 11-→00 vn+n n→∞ n lim =lim 由夹逼准则得 n-→0 2 n-→0 =1 lim(- 十十 =)=1 71→0 +2 n+n

例1 2 2 2 1 1 1 lim( ). 1 2 求 n n n n n         解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n         2 1 lim lim 1 1 又 n n n n n n      1, 2 2 1 lim lim 1 1 1 n n n n n      1, 由夹逼准则得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n        

3.单调有界准则 如果数列x满足条件 X≤X2≤Xn≤Xn≤.， 单调增加 单调数列 X1≥X2.≥Xn≥Xn+1≥， 单调减少 准则II单调有界数列必有极限： 几何解释： ●●●-●●● X1 X2 X3 XnX+1 A

3.单调有界准则 如果数列xn 满足条件 1 2 1 , n n x x x x      单调增加 1 2 1 , n n x x x x      单调减少 单调数列 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n 1 x  A M 准则II 单调有界数列必有极限

例2证明数列x=V3+V3+√+ (n重根 式)的极限存在 证 显然x1>xn,{xn}是单调递增的 又x=5<3,假定x<3,x1=√3+x<3+3<3 {xn}是有界的；.1imx,存在 x=VB+X,x21=3+x, lim=lim(3+x). 1n→00 f=3+么解得4=中西AL- (舍去) 2 2 1+√13 .limx= -→00 2

例 2 3 3 3 ( ) . 证明数列 重 根 式 的 极 限 存 在 n x n     证 1 显 然 , n n x x     是 单 调 递 增 的 ; n  x 1 又 x   3 3, 假 定 3, k x  1 3 k k x x     3 3  3,  是有界的 ; n  x lim . n 存在 n x   1 3 , n n x x    2 1 3 , n n x x    2 1 lim lim(3 ), n n n n x x      2 A A  3 , 1 13 1 13 , 2 2 解 得 A A     (舍去 ) 1 13 lim . 2 n n x    

二、两个重要极限 1.lim sinx x→0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积0 x-→0

1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2 π x  x  x  x  ( 0 , ) 2 π x  时， (0 ) 2 π 显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 O B A x 1 D C

当0<x< 时 2 0<1-cos x=1-cos x =25nc2 2 .lim(1-cosx)=0 x→0 ∴.lim cosx=1 x→0 sinx =1 ∴.lim x-→0x 0

注 当 2 π 0  x  时 0  1  cos x  1  cos x 2 2sin2 x    2 2 2 x  2 2 x  lim(1 cos ) 0 0     x x

tan x 例3.求lim x-→0 r 解： lim tan x sin x = lim x→0 X x→0 COSX sinx lim .lim = x→0 x x→0C0SX 例4.求1im arcsin x x→0 X 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 t 原式=lim 1 =lim =1 t→0s1nt 1>0 sint t

例3. 求 解: x x x tan lim 0         x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim 0  x cos x 1 lim 0   1 例4. 求 解: 令 t  arcsin x , 则 x  sin t , 因此 原式 t t t sin lim 0  t sint  1

说明：一般地 sin (x) lim =1 (x)→0 o(x) 例5.求1im 1-cosx x→0 2 解：原式=lim 2sin x→0 x 2x-0

2 0 sin lim       x 2 x 2 x 2 1 例5. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x 2 1 2 1   说明: 一般地