《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）1.2行列式的性质

1.2行列式的性质 Properties of determinant 山东理工大学数学系王玉田

1 . 2 行列式的性质 Properties of determinant 山东理工大学数学系 王玉田

目录/contents 01 行列式的性质 02) 应用举例 03 代数余子式性质 04) 小结

01 02 03 目 录 / contents 行列式的性质 应用举例 代数余子式性质 04 小结

Part] 行列式的性质 n阶行列式

Part 1 行列式的性质 n 阶行列式

◆行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单，但对 一般的行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大为简化行 列式的计算，下面我们来讨论行列式的性质.首先介绍一个重 要的定理。 由上节n阶行列式的定义式可知，阶行列式可表示 为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因此， 行列式可看作按第一行的元素展开的，事实上，行列式可 按任意一行（列）展开. n阶行列式

n 阶行列式 ◆行列式的性质 利用行列式的定义计算特殊类型的行列式比较简单，但对 一般的行列式，特别是高阶行列式，计算量相当大.为简化行 列式的计算，下面我们来讨论行列式的性质.首先介绍一个重 要的定理. 由上节n 阶行列式的定义式可知，n阶行列式可表示 为第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，因此， 行列式可看作按第一行的元素展开的，事实上，行列式可 按任意一行（列）展开

定理 阶行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子 式的乘积之和，即 D aiAi+ai2Ai2 +.ainAin 或 D=arj Arj+azj A2j+.+anj Anj 推论 n阶行列式中的第i行元素除a外都是0，那么该行列式等于 a与其对应的代数余子式的乘积，即 D aij Aij n阶行列式

n 阶行列式 n阶行列式等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子 式的乘积之和，即 𝐷 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 或 𝐷 = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 定 理 n阶行列式中的第i行元素除𝑎𝑖𝑗外都是0，那么该行列式等于 𝑎𝑖𝑗与其对应的代数余子式的乘积，即 𝐷 = 𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 推 论

定义（转置行列式） n阶行列式 01112 若把D中每一行元素 D= 21 22 a2n An 02 .m 11 21 换成同序数的列元素，得新行列式D'三 2 l22 02 Q2n 则称D'为行列式D的转置行列式： n阶行列式

n 阶行列式 n阶行列式 ，若把D中每一行元素 换成同序数的列元素，得新行列式 则称D’为行列式D的转置行列式. 定义 (转置行列式)    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a D = a nn a a a  22 11    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 D 12  = nn a a a  22 11

山24 性质1 行列式与它的转置行列式相等 11 L12 n 0 例如，上三角行列式：D= 22 azn ●e● 0 0 Ann 41 0 0 12 l22 0 由性质1即得D=D'= =L11L22.0mn a2n nn n阶行列式

n 阶行列式 例如，上三角行列式: 11 12 1 22 2 . 0 . . . . . 0 0 . n n nn a a a a a D a = 11 12 22 11 22 1 2 0 . 0 . 0 . . . . . . nn n n nn a a a D D a a a a a a 由性质1即得 = = =  行列式与它的转置行列式相等. 性质1

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号， 12 din 12 . .e .ee a ai Ain aj 0j2 Ajn D= . . Ajn 1 .e Ann Ann 通常以表示行列式的第行，以c表示行列式的第列， 交换i,两行记作r,分)，而交换i,两列记作C:分C· n阶行列式

n 阶行列式 11 12 1 1 2 n 1 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = n i i i j j jn n n nn a a a a a a D a a a a a a 11 12 1 1 2 1 2 n 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = − n j j jn i i i n n nn a a a a a a a a a a a a , . i i i j i j r i c i i j r r i j c c   通常以 表示行列式的第 行,以 表示行列式的第 列, 交换 ， 两行记作 而交换 ， 两列记作 互换行列式的两行（列），行列式变号. 性质2

例如 17 5 17 5 17 5 71 5 6 6 2 = 3 5 8 6 6 2 6 6 2. 35 8 6 6 2 3 5 8 5 3 8 推论如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. n阶行列式

n 阶行列式 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8

◆行列式的性质 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素乘以同一 数k,等于用数k乘此行列式 11 12 n 11 12 Ain kan kai2 kain =k 1 0i2 . in Ani Qn2 n Anl Qn2 。 n n阶行列式

n 阶行列式 ◆ 行列式的性质 n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a      1 2 1 2 11 12 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k      1 2 1 2 11 12 1 = 行列式的某一行（列）中所有元素乘以同一 数k,等于用数k乘此行列式. 性质3