《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）向量及其线性运算

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第二节 向量及其线性运算

1、引入 确定小鸟的飞行状态 需要以下若干个参数 小鸟身体的质量m 小鸟身体的仰角ψ少 鸟翼的转角少 鸟翼的振动频率t 小鸟身体的水平转角日 小鸟重心在空间的位置参数P(x,y,z) 还有. 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 工王王 a=(mpyt0xyz.）

确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟重心在空间的位置参数 小鸟身体的水平转角θ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组     = (m t x y z ) P x y z ( , , ) １、引入 小鸟身体的质量ｍ 鸟翼的振动频率ｔ 还有

一、n维向量的概念 定义1n个有次序的数41，a2,4n所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第个数a称为第个分量. 0=(01,2 a) n维向量 王王王王 例如 a称为向量a的第i 个分量 (1,2,3,.,n) (1+2i,2+3i,n+(n+1)i)

定义1 . , , , 1 2 第 个 数 称为第 个分量 组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量， 个有次序的数 所组成的数 i a i n n n n a a a i  n 一、 n 维向量的概念 ( , , , )  = a1 a2  an n维向量 ai称为向量的第i 个分量 例如 (1,2,3,  ,n) (1 + 2i,2 + 3i,  ,n + (n + 1)i)

n维向量的表示方法 n维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用a,b,ad,B等表示， 如： a'=(a,a2,.,an） 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用a,b,a,B等表示，如： d= 上页

1 2 ( , , , ) n a a a a  =               = an a a a  2 1 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 a b    , , ,   等表示，如： n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n n

注意 1.行向量和列向量只是写法不同；没本质区别。 2、 分量全为零的向量称为零向量。0=(0,0，.，0) 3、向量相等：如果n维向量 a=(a1,02,.,an)B=(b1,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即4：=b,(i=1,2,.,n) 就称这两个向量相等，记为α=B 4、 负向量：a=(a1,a2,.,an),-a=(-a1,-a2,.,-an） 回

注意 １．行向量和列向量只是写法不同；没本质区别。 2、分量全为零的向量称为零向量。 O = (0,0, ,0) 3、向量相等：如果 n 维向量 ( ) 1 2 , , , n  = a a a ( ) 1 2 , , , n  = b b b 的对应分量都相等，即 1,2, , ( ) i i a b i n = = 就称这两个向量相等，记为   = 4、负向量： 1 2 ( , , , ), n  = a a a 1 2 ( , , , ) n − = − − −  a a a

向量的运算 1、 加法a=(a1a.an),B=(6b,.bn)， 规定a+B=(（a1+b1a2+b2.an+bn) 称为a与β的和向量 减法a-B=a+(-)=（41-b1a2-b2.an-bn) 称为a与β的差向量： 2、数乘a-(a12.an),k∈R 规定ka=ak=(ka,ka2.kan) 称为数k与向量a的乘积. 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算

    − = + − = − − − ( ) (a b a b a b 1 1 2 2 n n ) k k ka ka ka  = = ( 1 2 n ) 二、向量的运算   + = + + + (a b a b a b 1 1 2 2 n n ) 1、加法   = = (a a a b b b 1 2 1 2 n n ), , ( ) 规定 2、数乘 ( 1 2 ), n  =  a a a k R 规定 称为数ｋ与向量α的乘积. 向量的加法与数乘合称为向量的线性运算. 称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量. 减法：

3、 转置 a= ad=（x12. x) Xn 4、 运算律： (1)a+B=B+a (5)1·a=a (2)(a+B)+y=a&+(B+y）(6)k(la)=(kl)a (3)a+0=a (7)(k+Da=ka+la (4)a+(-a)=0 (8)k(a+B)=ka+kB

3、转置  = ( x x x 1 2 n ) 1 2 n x x x      =         (1)    + = + (5)1 =   4、运算律： (2)( ) ( )       + + = + + (3) 0   + = (4) 0   + − = ( ) (6) ( ) ( ) k l kl   = (8)k k k (    + = + ) (7)(k l k l + = + )  

三、 应用举例 1a=(110),a,=(011),a=(340) 求a=3a1+2a2-3B=x1-2+ 解 =(012). dd =(44-1)

解 (4 4 1 . )  = − 1 0 3 3 1 2 1 1 4 0 1 0             = + −                   (0 1 2 . )  =     = − + 1 2 3 0 1 2     =       1 0 3 1 1 4 0 1 0             = − +                   4 4 1     =       −     = − + 1 2 3 1 2 3     = + − 3 2 例1 ( ) 1  1 1 0  = ， ( ) 3  340  2 (0 1 1) =  = ， 求 1 2 3     = + − 3 2 三、应用举例

主王 四、向量空间 1、号 定义：设V为n维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 fa∈V,B∈V→a+B∈V; ②对数乘封闭 fa∈V,2∈R→λa∈V. 那么就称向量组V为向量空间(Vector Space) 例1全体n维向量所组成的集合是一个向量空间， 记作： R"={x1x2.xn)Ix1,x2,xn∈R}

例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, R (x x xn ) x x xn R n = 1 2  | 1 , 2 ,  ,  if V V V        +  , ; 四、向量空间 1、定义：设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． if V R V        , . 记作 ：

例2判别下列集合是否为向量空间. 1、={x=(0x3.xx,xeR 解fa=(0a2,an)∈y,B=(0b2.bn)ey 有a+B=(0a2+b,.an+bn)∈， k∈R,ka=(0k,.kan)∈Y, 所以V是一个向量空间. 2、y={x=(（1x.xx2,xeR 解 ifa=(（1a2.an)e'g 3k=2,2a=(22a2.2an）e'2, 王 所以V,不是一个向量空间

例2 判别下列集合是否为向量空间. １、V x x x x x R 1 2 2 = =   (0 , , n n )  ２、V x x x x x R 2 2 2 = =   (1 , , n n )  解 if a a V b b V   =  =  (0 , 0 2 1 2 1 n n ) ( ) 有   + = + + (0 a b a b 2 2 n n )   =  k R k ka ka V , 0 ,  ( 2 1 n ) 所以 是一个向量空间. V1 解 if a a V  =  (1 2 2 n )  = =  k a a V 2, 2 2 2 2 ,  ( 2 2 n ) 所以 不是一个向量空间. V2 1 V