《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章_1.4克拉默法则

§1.4克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题

§1.4 克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结￾￾思考题

一、克拉默(Cramer)法则 i anx+arxz+L +ainx,=b 线性方程组 az+ax:dzuk LLLLLLLLLLLL (1①) ian七+an2水2+L+amx,=bn 若常数项b,b,b3,Lb不全为零，则此方程组为非 齐次线性方程组，若常数项b,b,b,Lb全为零，则 此方程组为齐次线性方程组

线性方程组1)可简写为 8ax,=b,i=1,2,L,n j=1 由线性方程组(1的系数构成的行列式 411412L41m 2122 D- LLLLLLL 称为线性方程组1)的系数行列式

定理1.4.2如果线性方程组1)的系数行列式D10,则 线性方程组)有解，并且解唯一，解可表示为 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程组 中右端的常数项代替所得到的阶行列式即 ant avi b aiL am D= LLLLLLLLLLL ananj br anin am

证明：1、存在性 QD,=bAu;+b242j+L+bAn=bAy s=1 e,R入第G2个方程，得 j=1 j=1 =1 es=1 0 1 D j=1s=1 =1 故xj D是方程组的解

证明： 1、存在性 把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 故 是方程组的解

2、唯一性设(C1,C2,Cm)是方程组的一个解，则 a0,9=b,(i=1,2,L,0 j=1 Aia aicj=b;Aik (i=1,2,L ,n) =1 n 左端相加a Ana are,=aaA4,S=ic,aa4:=cD 1j1 右端相加 Ab,Ak=D,从而cD=Dg D 得 Ck 所以方程组有唯一解

2、唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 得 所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

关于定理的说明： 1.Crameri法则的优点在于给出了方程组的解与方程 组的系数及常数项之间的关系，具有理论价值。 2.Crameri法则仅使用于方程个数等于未知量个数，并 且系数行列式不为零的线性方程组。 3.()两个条件限制了法则的应用； (2)即便适用法则，当很大时，由于利用法则求解方程 组运算量很大而不适用0

例题1：利用crameri法则求解线性方程组 2x1+x2-5x3+x4=8, X1-3x2-6x4=9, i 2x2-3+2x4=-5, 1x1+4x2-7x3+6x4=0. 解： 21-51 07 -5 13 1 -3 0-6 D 1-23 1-3 0 -6 0 2 -1 2 0 2 -1 2 4-3 1 4 -7 6 0 7 -7 12

7-5 13 C1+2C2 -3 -5 3 2 -1 2 0 -1 0 7-7 C3+2c2 12 -7-7-2 -3 3 -7 -2 =27, 8 1 -51 28 -51 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D D2= -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 10 -7 6 =81, =-108

218 1 21-58 1-3 9-6 1-3 0 9 D; 2 -5 2 0 2-1 -5 1 4 0 6 14-70 =-27, =27, D 81 =3, D-108=-4, D 27 27 -27 D 27 火3= =-1, X4= =1. D 27 D 27