《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章向量代数与空间解析几何_D8_6空间曲线及其方程

第之节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,2)=0 G(x,y,2)=0 y,Z (x,y)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G(x, y,z) = 0 F(x, y,z) = 0 1 S 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如，方程组 2 表示上半球面与圆柱面的交线C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x,⅓表示成参数t的函数： x=x(t) 称它为空间曲线的 y=y(t) 2=z(t) 参数方程 例如，圆柱螺旋线的参数方程为 x=acosot y=asinot 令0=0t,b=y X x=acos z=vt y=asin z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z x y o 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线    v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.将下列曲线化为参数方程表示 x2+y2=1 2x+3z=6 2) 解：(1)根据第一方程引入参数，得所求为 x=cost y=sint (0≤t≤2π) z=号(6-2cost) (2)将第二方程变形为(x-)+y2=,故所求为 x=号+号c0s1 y =gsint (0≤t≤2π) z=a2- HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x=p(t） 例2.求空间曲线T: y=v(t) (a≤t≤B)绕z轴旋转 z=0(t) 时的旋转曲面方程 解：任取点M1(p(t),yw(),o(t)∈T,点M绕z轴旋转， 转过角度0后到点M(x,y,z),则 x=vo2(t)+w2(t)cos0 au≤t≤B y=vo"(t)+w2(t)sin@ 0≤0≤2π z=0(t) 这就是旋转曲面满足的参数方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

例2. 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程

x=1 例如，直线 Y=t 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 z=21 x=1+2 cos 0 y=v1+12 sin0 0<t<+00 0≤0≤2π z=21 消去t和0，得旋转曲面方程为 4(x2+y2)-z2=4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x=asino 又如，xoz面上的半圆周 y=0 (0≤p≤π) z=acoso 绕z轴旋转所得旋转曲面（即球面）方程为 x asin o cos 0≤p≤π y=asin o sin 0≤0≤2π z=acoso 说明：一般曲面的参数方程含两个参数，形如 x=x(s,t) y=y(s,t) Z=Z(s,t) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,2)=0 G(x,y,2)=0 消去：得投影柱面H(x,y)=0, 则C在xoy面上的投影曲线C为 H(x,y)=0 z=0 消去x得C在oz面上的投影曲线方程 R(y,z)=0 x=0 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 T(x,z)=0 y=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如， 在xoy面上的投影曲线方程为 x2+2y2-2y=0 z=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

z y x C 1 o 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为    = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y    + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C 机动 目录 上页 下页 返回 结束