《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）1-1行列式的定义

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第一节 n 阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式 用消元法解二元（一次）线性方程组： aux+a2x2=b (0) (1-1) a21x+a22x2=b2 (2) (1)×22: 41122x1+ a12a22X2fb1422, (2)×012: 412421比1十012422X2fb2012, 两式相减消去x2,得 (a1122-41221)x1=b122-b2412; 这回

用消元法解二元(一次)线性方程组: 一、 二阶与三阶行列式    + = + = (2) (1) 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b (1-1) (1)a22: a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22, (2)a12: a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去x2 , 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;

类似地，消去x,得 (a1122-L1221)x2=b2411-b121 当(a11422-41221)≠0时，方程组的解为： y=402-424 七2= 411b2-b1a2i 41L22-4122 122-01202 由方程组()的四个系数确定 为方便记忆，我们引入二阶行列式 D= a11 412 a11a22-a12a21 ) a21 22 其中元素a,的第一个下标i为行指标，第二个下标j为 列指标。即a,位于行列式的第i行第j列

11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 当(a11a22 – a12a21)  0时, 方程组的解为: 由方程组(1)的四个系数确定 类似地, 消去x1 , 得 (a11a22 – a12a21) x2 = b2a11 – b1a21; 为方便记忆，我们引入二阶行列式 (1) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a D = = − 其中元素 aij 的第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为 列指标。即 aij位于行列式的第 i 行第 j 列

D= 011 12 411022-012021 021 22 二阶行列式的计算— 对角线法则 主对角线 011L22-41221 副对角线 对于二元线性方程组 (1-1) 若记 2 称为线性方程组(1-1)的系数行列式 回

21 22 11 12 a a a a 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 – a12a21 即 主对角线 副对角线 二阶行列式的计算——对角线法则 = a11a22 – a12a21 对于二元线性方程组 D称为线性方程组(1-1)的系数行列式.    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 21 22 11 12 a a a a 若记 D = (1-1)

4x+0x au+anx2 021X1+022X2 a2X1+022 b D. 2 b, D2 22 2 b, X1= b122-412b2 七2= 41b2-b1421 (3) 41142-412021 01122-012021 b 12 11 b D1 b, 22 : 21 B, D du 12 X2= D 41 12 王王 21 L22 021 L22 注意：分母都为原方程组的系数行列

21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 22 11 12 a a a a D =    + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 12 2 11 1 2 a b a b D = , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x = = 注意: 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x = = 则该二元线性方程组的解(3)式 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = (3) 表示为:

例1：解二元线性方程组 3x1-2x2=12 2x1+x2=1 解： =3-(-4)=7≠0， 312 2 =-21, 2,- =-21=-3. 7 D 上页 回

. 2 1 3 2 12 1 2 1 2    + = − = x x x x 2 1 3 − 2 D = 1 1 12 2 1 − D = = 14, 2 1 3 12 D2 = = −21, D D x 1  1 = 2, 7 14 = = D D x 2 2 = 3. 7 21 = − − = 例1: 解二元线性方程组 解: = 3 – (–4) = 7  0

三阶行列式 用高斯消元法，解三元一次线性方程组 ax+a2x2+a3x3=b a21X+a22X2+a23X3=b2, (1-2) a31x+a32x2+a33X3=b 也可以得到类似二元一次线性方程组的结果。 即如果引入三阶行列式 11 12 3 D 021 d22 423 a31 a32 l33 列标 行标

用高斯消元法，解三元一次线性方程组 也可以得到类似二元一次线性方程组的结果。 （1-2） 三阶行列式 列标 行标 即如果引入三阶行列式

则当 (1-2)的所有行列式 au 12 a13 b a12 a13 D= 22 u23 ≠0 D b 32 433 b a32 a33 b 13 au a12 b D,= b2 a23 D3=a21 a22 b a33 a32 方程组(1-2)的解可以用三阶行列式表示为 D D 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述的结 果呢？这就是本章要回答的一个问题 。 回

11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a D a a a a a a =  方程组（1-2）的解可以用三阶行列式表示为 , , . 3 3 2 2 1 1 D D x D D x D D x = = = 对于n元一次方程组，是否也有类似于上述的结 果呢？这就是本章要回答的一个问题 。 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D = 则当（1-2）的所有行列式

三阶行列式的计算 (1)对角线法则 =411022L33+41223031+41321032 132231%1221L33L1L2332 注意：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元 说明1.对角线法侧只适用于二阶与三阶行列式 说明2.三阶行列式包括3！项，每一项都是位于不 工同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项 干为负. 王 上页

三阶行列式的计算 11 22 33 = a a a . − a11a23a32 (1)对角线法则 13 21 32 + a a a 12 23 31 + a a a − a13a22a31− a12a21a33 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 说明2. 三阶行列式包括3!项, 每一项都是位于不 同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项 为负. 注意:红线上三元素的乘积冠以正号, 蓝线上三元 素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

例2：计算三阶行列式 解：按对角线法则，有 D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 -(-4)×2×(-3)-2×(-2)×(-2)-1×1×4 =-4-6+32-24-8-4=-14 练习： a b c b c a=3abc-3-b3-c3. c a b 上页 回

. 3 4 2 2 2 1 1 2 4 - - - - 例2: 计算三阶行列式 D = 解: 按对角线法则, 有 D = 12(–2) + 21(–3) + (–4)(–2)4 – (–4)2(–3) – 2(–2)(–2) – 114 = –4 – 6 + 32 – 24 – 8 – 4 = –14 练习： abc b c a c a b 3 3 3 = − − − 3 . abc a b c