《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）3-4分块矩阵

第四草矩阵的分块法 一矩阵的分块 二分块矩阵的运算法则 三应用 四两种特殊的分块法 五小结 六思者

课前复习 定义对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B, 使得 AB=BA-E, 则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A. 说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 定理 矩阵A可逆的充要条件是A≠0且 1':不，其中r为超阵A的件箱范阵 当A附，A称为奇异矩阵； 当A附，A称为非奇异矩阵. 上页 区回

课前复习 使得 AB BA E = = , 的逆矩阵记作 1 A . − A 定义 对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ， 则称矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵. 说明 若Ａ是可逆矩阵，则Ａ的逆矩阵是唯一的. 定理 矩阵Ａ可逆的充要条件是 A  ，且 0 1 1 A A , A −  = A 其中  为矩阵Ａ的伴随矩阵. 当 A = 时， 0 Ａ称为奇异矩阵； 当 A  时， 0 Ａ称为非奇异矩阵

运算规律（设AB均是n阶方阵) 1)若A3→A3,且(A)=A. 2)若'1,2*0今(03，且(A=元4 3)若A13,B13,且A,同阶，→（AB)3, 且(AB)=BAH 推广(44A)=A1.414 4)若43→(4)3，且(4)=() 5)若A13→4=A 6)若：()'.()当

运算规律 （设ＡＢ均是ｎ阶方阵） 1 A −  1 A , − 1）若   ( ) 1 1 A A. − − 且 = ( ) 1 A , −   1 A , 0  − 2）若   ( ) 1 1 1 A A .  − − 且 = ( ) 1 AB , −   1 1 A B, − − 3）若   ，且 A B, 同阶， 推广 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 . A A A n n A A A − − − − = ( ) 1 A , −    1 A − 4）若  ( ) ( ) 1 1 A A . − −  且  = 1 1 A A − −  = 1 A − 5）若  1 A , − 6）若  ( ) 1 A , −    ( ) ( ) 1 1 . A A A A −   − 且 = = ( ) 1 1 1 AB B A − − − 且 =

7)其它的一些公式 AA=A'A=AE 4=44- 4-A 4=14) (A）=A-2A (k4)°=k-A (AB)=BA (4)八=ka-A 8)一些规定 A-E A*=(4) ARA“=A2+H (4）=A (其中k为整数) 回

（其中ｋλμ为整数） 7）其它的一些公式 n 1 A A  − = AA A A A E   = = ( ) n 2 A A A   − = ( ) 1 A A A . −  = 1 A A A  − = ( AB B A )    = ( ) n n( 1) n 1 kA k A  − − = 0 A E = ( ) 1 k k A A − − = A A A    + = ( A A )    = 8）一些规定 ( ) n 1 kA k A  −  =

、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例 0 0 a 1 00 0a 0 0 B 0 即A= 10 b 10 BBB .m 0 0 1

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. , 3 2 1           = B B B 例               A = a 1 0 0 0 0 0 1 0 1 a b 0 1 1 b           = B1 B2 B3 即

1 0 0 0 0 A= 1 0 b 1 E 0 0 00 即 0 A- a 0 1 0 b 1 上页 回

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

0 a 0 0 A= 1 0 b 1 B 。-9 0 1 :1 b 1 0 0 0 0 A- 0 0 b =(41A 0 注：分块时首先满足E,再考虑对角或三角矩阵 然后考虑以及其它的特殊矩阵

,      = E B A O ( ) 1 2 3 4 = A A A A ,               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 a A a   =           = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O 1 0 1 0 a A     =                      = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4 注：分块时首先满足 E ，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O 以及其它的特殊矩阵

两种特殊的分块法-按行分块与按列分块。 a 1 4=(a100) 0 0 0 A A- 4=(0a00 1 0 b A A=(10b 01 1 A 4=(011b) 0 0 a 0 0 A- b : 01 1 b 上页

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 二、两种特殊的分块法-按行分块与按列分块. 1 2 3 4 , A A A A     =         ( ) 1 A a = 1 0 0 ( ) 2 A a = 0 0 0 ( ) 3 A b = 1 0 1 ( ) 4 A b = 0 1 1 ( ) 1 2 3 4 = A A A A ,               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 a A     =                      = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

二、 分块矩阵的运算规则 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. 1、矩阵的加法 设与为同型矩阵，采用相同的分块法，有 Le-pe 其中A与 为同型矩阵，则 Au+Bu . A+B= A1+B1.A B

11 11 1 1 1 1 . r r s s sr sr A B A B A B A B A B   + +   + =       + + 11 1 11 1 1 1 , r r s sr s sr A A B B A B A A B B         = =             1、矩阵的加法 设 A 与 B 为同型矩阵，采用相同的分块法，有 其中 Aij 与 B 为同型矩阵，则 ij 分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似. 二、分块矩阵的运算规则

2 数乘 A A 乘法 设A,B,分块成 A . A= ,B= A1. B B 其中A,A2,的列数分别等于 B,的行数B, 回

11 1 1 , , r s sr A A A R A A      =        2、数乘 11 1 1 . r s sr A A A A A          =       则 3、乘法 设 A B m l l n   , ，分块成 11 1 11 1 1 1 , , t r s st t tr A A B B A B A A B B         = =             其中 的列数分别等于 的行数. 1 2 , , , A A A i i it 1 2 , , , B B B j j tj