《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）5-3相似矩阵

第三节相似矩晖

方阵的相似 定义5.3.1：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵 P,使 PAP=B 则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似， 对A进行运算PAP,称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

一、方阵的相似 1 P AP B − = 定义5.3.1: 设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似, 对A进行运算 , 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. P,使 1 P AP −

4.P-(k A+k2A)P=k P-A P+k2 P-AP 其中k1,k,是任意常数 定理I若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同从而A与B的特征值亦相同 证明A与B相似 →可逆阵P,使得P-AP=B .B-AE=P-AP-P(E)P =P-1(A-E)P =P-A-E P =A-E

证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1  − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数   P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B

推论1若n阶方阵A与对角阵 相似，则2,22，2即是A的n个特征值 思考： 1、阶方阵A满足什么条件会与对角阵A=diag(21, 22,.,元n)相似 2.如何求方阵A与对角阵A相似的相似变换矩阵P

推论1 若 n 阶方阵A与对角阵                =  n    2 1 , , , , . 相似 则1 2   n即是A的n个特征值 思考： 1、n阶方阵A满足什么条件会与对角阵=diag(1 , 2 ,···, n )相似, 2. 如何求方阵A与对角阵相似的相似变换矩阵P

二、方阵可对角化的条件 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P1AP=人为对角阵，这就称为把方阵A对角化. 定理2阶矩阵A与对角矩阵相似即A能对角化 的充分必要条件是4有n个线性无关的特征向量 证明 假设存在可逆阵钯，使P-1AP=为对角阵， 把P用其列向量表示为P=(p1,P2,pn)

, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P =  − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2  pn . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A 二、方阵可对角化的条件

由P1AP=人，得AP=PA, 即A(p1,P2,pn)=(p1,P2,Pn） 入2 入n =(21P1,22P2,nDn) A(BP2a)=(ApApzApa) =(21P1,2p2,.,pn) 于是有 Ap,=P(i=1,2,.,n)

( ) ( )               = n n n A p p p p p p       2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2   n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , ,  1 2  = 1 2  Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i =  ( )  p p pn , , , = 1 1 2  , , 1 =  =  − 由P AP 得AP P

可见入：是A的特征值，而P的列向量P:就是 A的对应于特征值2的特征向量. 将上述过程倒推回去，就是充分性的证明 反之，由于A恰好有个特征值，并可对应地求 得n个特征向量，这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP=PA. 又由于P可逆，所以P1,P2,.,pn线性无关 命题得证

. , 的对应于特征值 的特征向量 可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 i i i A A P p   , , , , . 又由于P可逆 所以p1 p2  pn线性无关 命题得证. . , , , , AP = P n n P A n 使 得 个特征向量 这 个特征向量即可构成矩阵 反之 由于 恰好有 个特征值 并可对应地求 将上述过程倒推回去，就是充分性的证明

推论：如果阶矩阵4有个互不相等的特征值，则 A与对角阵相似. 说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有n 个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到个线性无关的特征向量，则A还是能对 角化

推论: 如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则 A与对角阵相似. 说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n 个线性无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化. 但如果能找到n个线性无关的特征向量, 则A还是能对 角化

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ -2 2 -2 -2 (1)A= -2 -2 4 (2)A= -5 3 -3 2 4-2 1 0 2 解 1-入 -2 2 (1)由A-2E = -2 -2-九 4 2 4 -2- =-(九-22（九+7）=0 得21=入=2，入3=-7

例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？           − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 (1) A           − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 (2)A 解 (1)由A− E ( 2) ( 7) 2 = −  −  + = 0    − − − − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 2, 7. 得 1 = 2 = 3 = −