《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§3.4 分块矩阵

§3.4分块矩阵 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、矩阵乘法的几种分块方法 四、分块对角矩阵

§3.4 分块矩阵 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、矩阵乘法的几种分块方法 四、分块对角矩阵

一、分块矩阵的概念 1.定义设A是一个矩阵，在A的行和列之间加上一些 横线和竖线，把矩阵A分成若干小块，用这种方法得 到的形式矩阵称为一个分块矩阵 例如 1 414:15 0212223 02425 A= 3 032 L33 3435 a4 a2:a3 4045 则A可记为 A= A

31 32 3 11 3 13 14 23 24 1 41 42 5 25 34 43 4 12 2 35 1 4 5 22 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a              21 1 12 3 1 2 2 13 A 2 A A A A A   A      一、分块矩阵的概念 . , , 1. , 到的形式矩阵称为一个分块矩阵 横线和竖线 把矩阵 分成若干小块 用这种方法得 定义设 是一个矩阵 在 的行和列之间加上一些 A A A 例如则A可记为

例如 2 3 1 2 3 4 5 6 8 56 7 8 -4 -3 -2 -1 -4-3 -2-1 -8 -7 -6 -5 -8-7 -6 -5 上述分块后则不是分块矩阵 关于分块矩阵的说明： 1分块后，每行子块的行数相同，每列子块的列数相 同.（添加的横线和竖线贯穿矩阵的上下，左右）

1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5                     1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 8 7 6 5                     关于分块矩阵的说明: .( , .) 1. , , 同 添加的横线和竖线贯穿矩阵的上下 左右 分块后 每行子块的行数相同 每列子块的列数相 上述分块后则不是分块矩阵. 例如

2.对于一个矩阵，由于横线和纵线的取法不同，得到 的分块矩阵也不同 3.矩阵在分块时，只有当行的分块和列的分块都确 定后，分块矩阵才唯一确定 分块矩阵运算遵循原则： 4.在进行分块矩阵运算时，要保证分块前后都要可 以运算，同时运算结果要相同 5.在进行分块矩阵运算时，只需要将子块当成数去 处理，运算规律按矩阵相应运算进行

. 2. , , 的分块矩阵也不同 对于一个矩阵由于横线和纵线的取法不同 得到 , . 3. , 定后 分块矩阵才唯一确定 矩阵在分块时 只有当行的分块和列的分块都确 , . 4. , 以运算 同时运算结果要相同 在进行分块矩阵运算时 要保证分块前后都要可 , . 5. , 处理 运算规律按矩阵相应运算进行 在进行分块矩阵运算时 只需要将子块当成数去 分块矩阵运算遵循原则:

2.特殊分法 设矩阵A=(4)sxn, A 按行分块A= A 其中A=(a,2,.,n) 4, i=1,2,.,S. j 按列分块A=(A,A,.,An),其中A= 02j j=1,2,.,n

2.特殊分法 设矩阵 ( ) , A a  ij s n 按列分块 A A A A   1 2 , , , n  ，其中 1 2 , j j j nj a a A a                j n  1,2, , . 按行分块 1 2 , s A A A A              其中 1 2 ( , , , ), A a a a i i i in  i s  1,2, ,

矩阵的行列都要分，且分到最细时得到 11 12 421 422 。 .: Ami am2 此时，分块矩阵就是前面的矩阵，于是可以说 分块矩阵是矩阵的形式推广，矩阵是分块矩阵的一 种特殊情况

              m m m n n n a a a a a a a a a       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 矩阵的行列都要分,且分到最细时得到 此时,分块矩阵就是前面的矩阵,于是可以说 . , 种特殊情况 分块矩阵是矩阵的形式推广 矩阵是分块矩阵的一

二、分块矩阵的运算 1、加法 设A,B是两个m义n矩阵，对它们用 同样的分法分块： A A=: 品A人 B= 其中子块A,与B为同型矩阵，则 1+B 4+B : A1+BpApg+Bpm

11 1 11 1 1 1 , q q p pq p pq A A B B A B A A B B                       1、加法 设 A, B 是两个m×n 矩阵，对它们用 同样的分法分块: 二、分块矩阵的运算 11 11 1 1 1 1 . q q p p pq pq A B A B A B A B A B                 其中子块 Aij 与 Bij 为同型矩阵，则

2、数量乘法 设分块矩阵A= 2是任意数，则 λA=

2、数量乘法 设分块矩阵 11 1 1 , , q p pq A A A A A             是任意数 则 11 1 1 q p pq A A A A A                

3、乘法 把矩阵A=(ax)x,B=(b)xp分块成 「A· A B1.B1g 及4 其中A1,A2,.,A的列数分别等于Bj3B2j)., B的行数，那末 C1 AB= 其中Cg=∑AwBg(i=1,.,pj=1,）

11 1 11 1 1 1 1 2 1 2 , , , , , , , , , t q p pt t tq i i it j j tj A A B B A B A A B B A A A B B B                       其中 的列数分别等于 的行数 那末   11 1 1 1 1, , ; 1, , . q p pq t ij ik kj k C C AB C C C A B i p j q             其中     3、乘法 把矩阵 ( ) , ( ) A a B b   ik m s kj s p   分块成

说明： 1当左边分块矩阵的列的分块方法和右边分块矩阵的分 块方法相同时，两个分块矩阵才可以相乘 2.两个分块矩阵的乘积仍是分块矩阵，并且乘积分块矩 阵的行数等于左边分块矩阵的行数，乘积分块矩阵的列 数等于右边分块矩阵的列数 3.分块矩阵的第行第列子块C等于左边分块矩阵的第 行与右边分块矩阵第列的对应子块乘积之和 Ci=AnBy++Aip Bpi

Cij  Ai1 B1 j  AipBp j 说明: , . 1. 块方法相同时 两个分块矩阵才可以相乘 当左边分块矩阵的列的分块方法和右边分块矩阵的分 . , 2. , 数等于右边分块矩阵的列数 阵的行数等于左边分块矩阵的行数 乘积分块矩阵的列 两个分块矩阵的乘积仍是分块矩阵 并且乘积分块矩 . 3. 行与右边分块矩阵第 列的对应子块乘积之和 分块矩阵的第 行第 列子块 等于左边分块矩阵的第 i j i j Cij