《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第四节一阶线性微分方程

第四节一阶线性微分方程 一、线性方程 *二、伯努利方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 *二、伯努利方程

第四节一阶线性微分方程 一、线性方程 1.定义 定义形如 dy +P(x)y=Q(x) dx 的方程称为一阶线性微分方程.若Qx)=0,则称之为 一阶齐次线性微分方程，否则称之为一阶非齐次线性微 分方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 定义 形如 的方程称为一阶线性微分方程. 1. 定义 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x)  0，则称之为 一阶齐次线性微分方程，否则称之为一阶非齐次线性微 分方程

第四节一阶线性微分方程 +P(x)y=Q(x) dx 2.解法 Step1求齐次线性方程的通解 齐次线性方程 dy+P(x)y=0 dx 是可分离变量的方程，可求得其通解为 y=Ce∫Pra 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 2. 解法 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = Step1 求齐次线性方程的通解 齐次线性方程 是可分离变量的方程，可求得其通解为

第四节一阶线性微分方程 +Px)y=0x) dx y=Ce-JPCXir Step2用常数变易法求原方程的通解 当C是常数时，函数y=Ce∫Pet满足 dy+P(x)y=0, d 因此，当C=u时，函数y=(xeP满足 +P(x)y+0 dx 而是x的函数.故可设原方程的解为 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = Step2 用常数变易法求原方程的通解 当 C 是常数时，函数 满足 因此，当 C = u(x) 时，函数 满足 而是 x 的函数. 故可设原方程的解为

第四节一阶线性微分方程 +P(x)y=Q(x) dx y=Ce∫Px灿 y=i(x)e 于是 =eu()e dx 代入原方程，得 weuP()eP(ue) teoa=0(,→M=Q0ePet 即 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 于是 代入原方程，得 即

第四节一阶线性微分方程 D+PyGy=aeeP场 u'=Q(x)e P(x)dx 两边积分，得u=∫p)eodr+C 于是非齐次线性方程的通解为 通解公式 y=e ∫ead+C y=Ce )e 通解结构：非齐通=齐通+非齐特 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 两边积分，得 于是非齐次线性方程的通解为 e ( )e d . ( )d ( )d       +   =  − y Q x x C P x x P x x 通解公式 e e ( )e d . ( )d ( )d ( )d    +  = − − y C Q x x P x x P x x P x x 通解结构：非齐通 = 齐通 + 非齐特

第四节一阶线性微分方程 5 例1解方程 dy 2y =(x+1)2 dx x+l 解 例2有一电路如图所示，其中电源 电动势为E=E,sin o1,电阻R和电 感L都是常量，求电流i(t). 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 例1 解方程 第四节 一阶线性微分方程 解 例1 解方程 ( 1) . 1 2 d d 2 5 = + + − x x y x y 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 . 1 d 2d + = x x y y 积分得 ln y = 2ln x +1 + ln C , 即 ( 1) . 2 y = C x + 用常数变易法求特解. ( ) ( 1) , 2 y = u x  x + 则 ( 1) 2 ( 1). 2 y  = u  x + + u  x + 代入非齐次方程得 ( 1) . 2 1 u  = x + 解得 ( 1) . 3 2 2 3 u = x + +C 故原方程通解为 ( 1) . 3 2 ( 1) 2 3 2    + +    y = x + x C 令 x y O 例2 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R Q 其中电源 感 L 都是常量, 求电流 电动势为 第四节 一阶线性微分方程 解 例2 有一电路如图所示, E E sin t, = m  电阻 R 和电 i(t) . ∼ L E R Q 其中电源 感 L 都是常量, 求电流 电动势为 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 列方程 已知经过电阻 R 的电压降为iR，经过 L的电压降为 , d d t i L 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 由回路电压定律: 初始条件: 0 . i t = 0 =

第四节一阶线性微分方程 例3解方程 dy 1 x+y 解法一变成一阶线性方程一 解法二作变量代换一 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 例3 解方程 第四节 一阶线性微分方程 解法一 变成一阶线性方程 例3 解方程 . 1 d d x x y y + = 方程变形，得 , d d x y y x = + , d d x y y x − = 这是一个以 y 为自变量，以 x 为函数的一阶线性方程， 由通解公式，得       +   =  − x Q y y C P y y P y y e ( )e d ( )d ( )d 第四节 一阶线性微分方程 y O x 解法二 作变量代换 例3 解方程 . 1 d d x x y y + = 令 u = x + y，则 y = u – x ， 1, d d d d = − x u x y 于是方程变为 , 1 1 d d x u u − = . 1 d d u u x u + = 分离变量，得 d d , 1 u x u u = + 两边积分，得 u − ln | u +1|= x +C. 代回原变量并化简得通解为 x = Ce − y −1. y

第四节一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 1.定义 定义形如 dx +P(x)y=Q(x)y”(n≠0,1) 的方程称为伯努利方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 定义 形如 的方程称为伯努利方程. 1. 定义 ( ) ( ) ( 0,1) d d + P x y = Q x y n  x y n

第四节一阶线性微分方程 +Pxy=g(x)y(n≠0.1 dx 2.解法 作变量代换z=y-",则伯努利方程变为 dz +(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) 一阶线性方程 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第四节 一阶线性微分方程 ( ) ( ) ( 0,1) d d + P x y = Q x y n  x y n 2. 解法 作变量代换 z = y 1-n ，则伯努利方程变为 (1 ) ( ) (1 ) ( ). d d n P x z n Q x x z + − = − 一阶线性方程