《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第十节常系数线性微分方程组解法举例

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*第十节 常系数线性微分方程组 一、概念与解法 二、举例

第十节常系数线性微分方程组 一、概念与解法 1.定义 定义由若干个微分方程联立起来共同确定几个具 有同一自变量的函数的方程组，叫做微分方程组.如果 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方 程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程 组. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 一、概念与解法 定义 由若干个微分方程联立起来共同确定几个具 有同一自变量的函数的方程组，叫做微分方程组. 1. 定义 如果 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方 程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程 组

第十节常系数线性微分方程组 2.解法 Step1从方程组中消去一些未知函数及其导数，得 到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程； Step2解此高阶微分方程； Step3把已求得的函数代入原方程组，求出其余的 未知函数. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 2. 解法 Step1 从方程组中消去一些未知函数及其导数，得 到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程； Step2 解此高阶微分方程； Step3 把已求得的函数代入原方程组，求出其余的 未知函数

第十节常系数线性微分方程组 二、举例 dy=3y-2z, dx 例1解微分方程组 dz dx =2y-z 解由②得 dz y= 1 +z], ③ dx 代入①，化简得 d2 dz dx2- +z=0 dx 特征方程： r2-2r+1=0, 通解： z=(C+C2x)e* 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 二、举例 例1 解微分方程组 3 2 , d d y z x y = − 2 . d d y z x z = − ① ② 解 由②得  , d d 2 1 z x z y = + ③ 代入①, 化简得 0 . d d 2 d d 2 2 − + z = x z x z 特征方程: 2 1 0 , 2 r − r + = 通解: ( )e . 1 2 x z = C +C x ④

第十节常系数线性微分方程组 x-l ③ z=(C]+C2x)e* ④ 将④代入③，得y=2(2C+C,+2C,e.⑤ 原方程通解： [==(Gi+Cx)e', y=2(2C+C2+2Cx)e 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 将④代入③, 得 (2 2 ) e . 2 1 1 2 2 x y = C +C + C x ⑤ 原方程通解: ( )e , 1 2 x z = C +C x (2 2 ) e . 2 1 1 2 2 x y = C +C + C x  z  x z y = + d d 2 1 ③ x z (C C x)e = 1 + 2 ④

第十节常系数线性微分方程组 =(C1+C2x)ex 原方程通解 y=(2C1+C2+2C2x)e 注意 (1)不能由①式求y,因为那将引入新的任意常数， 而它们与C1,C,是不独立的（它们受②式制约）： (2)由通解表达式可见，其中任意常数间有确定的关 系，因此y的表达式中，2C+C2不能用另一任意常数 C3代替，系数1/2也不能去掉. 3)若求方程组满足初始条件yx=0=0,2x=0=20 的特解，只需代入通解确定C1,C2即可. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 原方程通解 x z (C C x)e = 1 + 2 x y (2C C 2C x)e 2 1 = 1 + 2 + 2 注意 (1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, 而它们与C1 , C2 是不独立的(它们受②式制约). (3) 若求方程组满足初始条件 0 0 0 0 y y , z z x x = = = = 的特解, 只需代入通解确定C1 , C2 即可. (2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关 系，因此 y 的表达式中，2C1+C2不能用另一任意常数 C3代替，系数1/2也不能去掉

第十节常系数线性微分方程组 d2x, dy -x=e', 例2解微分方程组 dt2 dt d2y dx dt2 +y=0」 di d 解记D= dt 则方程组可表为 (D2-1)x+Dy=e', ⑥ Dx+(D2+1)y=0. 根据解线性方程组的克莱姆法则，有 D2-1 D D2-1 e D 2+1 y- 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 例2 解微分方程组 e , d d d d 2 2 t x t y t x + − = 0 . d d d d 2 2 + + y = t x t y 解 , d d D t 记 = 则方程组可表为 (D 1) D e , 2 t − x + y = D (D 1) 0 . 2 x + + y = ⑥ ⑦ 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有 D D 1 D 1 D 2 2 + − y = , D 0 D 1 e 2 t −

第十节常系数线性微分方程组 即 D4-D2-1)y=-e. ⑧ 其特征方程： r4-r2-1=0, 1+√5记 特征根： ,2=±2 ±0， 5-1 4=±iy2 记±iB. 令y*=Ae,代入⑧可得A=1,故得⑧的通解： y=Ce +C,e+C Cos Bt+Ca sin Bt+e ⑨ 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 即 (D D 1) e . 4 2 t − − y = − 其特征方程: 1 0 , 4 2 r − r − = 特征根: 2 1 5 1,2 + r =  2 5 1 i 3,4 − r =  记  , 记  i  . ⑧ e , t y = A 令  代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解: ⑨

第十节常系数线性微分方程组 ((D2-1)x+Dy=e ⑥ Dx+(D2+1)y=0 ⑦ 下面来求x. D×⑦-⑥得x+D3y=-e, .'.x=-D3y-e'-a(Ce-ar-C2e@/) -B (C:sin Bt-Ca cos Br)-2e'.0 ⑨，⑩联立即为原方程的通解. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

*第十节 常系数线性微分方程组 下面来求 x . D× ⑦－⑥ 得 D e , 3 t x + y = − t x D y e 3  = − − ⑩ ⑨,⑩联立即为原方程的通解. t (D 1)x D y e 2 − + = D (D 1) 0 2 x + + y = ⑥ ⑦