《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章不定积分_第一节不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质

第一节不定积分的概念与性质 一、 不定积分的概念 1.求导运算的逆运算问题 已知函数f)求导运算>f'() 已知导数f'()如何运算>f) 显然这是两个互逆运算.本章将要讨论求导运算的逆 运算一积分运算. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 1. 求导运算的逆运算问题 已知函数 f (x) 求导运算 f (x) 已知导数 f (x) 如何运算 f (x) 显然这是两个互逆运算. 本章将要讨论求导运算的逆 运算—积分运算

第一节不定积分的概念与性质 2.原函数及其存在定理 定义1如果在区间I上，可导函数Fx)的导数为fx) 即对任一x∈I,都有 F'(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx, 那么函数Fx)就称为fx)在区间I上的原函数. 例如，(x)y=5x4,所以5是5x4的一个原函数， .'(six)}'=cosx,所以sinx是cosx的一个原函数， :hy=, 所以Inx是1x在(0，+oo)上的一个原 函数. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 2. 原函数及其存在定理 定义1如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为f(x) 即对任一 x  I，都有 F (x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx , 那么函数 F(x) 就称为 f(x) 在区间 I 上的原函数. 例如， 所以 x 5 是 5x 4 的一个原函数, 所以sin x 是 cos x 的一个原函数, 所以ln x 是 1/x 在(0 , +)上的一个原 函数

第一节不定积分的概念与性质 原函数存在定理如果函数fx)在区间I上连续， 那么在I上存在可导函数Fx),使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x). 连续函数一定有原函数。 两点说明 (1)若Fx)是fx)在区间I上的一个原函数，则 Fx)+C(C是任意常数)也是fx)在区间I上的一个原 函数.因为Fx)+C'=F'x)=fx). 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 原函数存在定理如果函数f(x) 在区间 I 上连续， 那么在 I 上存在可导函数F(x) ， F (x) = f (x) . 使对任一 x  I 都有 连续函数一定有原函数. 两点说明 (1) 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则 F(x) + C (C 是任意常数) 也是 f (x) 在区间 I 上的一个原 函数. 因为 [F(x) + C ] = F (x) = f (x)

第一节不定积分的概念与性质 (2)若Fx)及D(x)都是fx)在区间I上的原函数， 则Φx)=Fx)+C(C为某个常数).因为 [Φ(x)-Fx)'=fx)-fx)=0, 所以有 D(x)-F(x)=Co,(x)=F(x)+Co. 因此，fx)在区间I上的任一原函数可表示为 F(x)+C. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 (2) 若 F(x) 及  (x) 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数， 则  (x) = F(x) + C0 (C0 为某个常数). 因为 [ (x) - F(x)] = f (x) - f (x) = 0 , 所以有  (x) - F(x) = C0 ,  (x) = F(x) + C0 . 因此，f (x) 在区间 I 上的任一原函数可表示为 F(x) + C

第一节不定积分的概念与性质 3.不定积分的概念 定义2在区间I上，函数fx)的带有任意常数项的 原函数称为fx)(或fx)dx)在区间I上的不定积分， 记作∫f(x)dx.其中 ∫一 积分号， f(x) 被积函数， f(x)dx 被积表达式， 积分变量. 若Fx)是fx)在区间I上的原函数，则 ∫f(x)dr=F(x)+C 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 3. 不定积分的概念 定义2 在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数项的 原函数称为 f (x) (或 f (x)dx) 在区间 I 上的不定积分， 记作 ( )d .  f x x 其中  积分号， f (x) 被积函数， f (x)dx 被积表达式， x 积分变量. 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则 f (x)dx = F(x) +C . 

第一节不定积分的概念与性质 例如， ∫xdx= +C ( u+1 aj=∫x=nx+C mj-j安 dx=arcsin x+C 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 例如， , 1 1    x x =          + +  ( 1) ; 1 d 1 +  +  = +      C x x x ( ) , 1 ln x x =   d ln ; 1 x x C x  = +  ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   d arctan ; 1 1 2 x x C x = + +   ( ) , 1 1 arcsin 2 x x − =   d arcsin . 1 1 2 x x C x = + −  

第一节不定积分的概念与性质 几点说明 ()不定积分的几何意义设有 ∫f(x)dx=F(x)+C, 称Fx)+C的图形为f)的积分曲线.积分曲线是一 簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行， 例如，y=cosx的积分曲线如下： 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 (1) 不定积分的几何意义 f (x)dx = F(x) +C ,  设有 称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是一 簇平行曲线， 几点说明 它们在横坐标相同的点的切线平行. 例如，y = cos x 的积分曲线如下：

第一节不定积分的概念与性质 y=cosx的积分曲线 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 y = cos x 的积分曲线 x y 0 O x

第一节不定积分的概念与性质 (②)积分运算与微分运算是互逆运算 设「f(x)dx=F(x)+C,则有 (f()dz)=LF(x)+cr=f(x). 或 d([f(x)dx)=dIF(x)+C]=f(x)dx; ∫F'(x)dr=F(x)+C, 或 ∫dF(x)=F(x)+C 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第一节 不定积分的概念与性质 (2) 积分运算与微分运算是互逆运算 f (x)dx = F(x) +C , 设  则有 ( f (x)dx) = [F(x) +C] = f (x) ,   或 d( f (x)dx)= d[F(x) +C] = f (x)dx ;  F(x)dx = F(x) +C ,  或 dF(x) = F(x) +C . 