《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章微分中值定理与导数的应用_第七节曲率

第七节曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、曲率中心渐屈线与渐伸线 上页 下页 返回 MathS 公式 线与面 数学家

第七节 曲率 一、弧微分 三、曲率圆与曲率半径 二、曲率及其计算公式 *四、曲率中心渐屈线与渐伸线

第七节曲率 一、弧微分 设函数y=fx)在区间(，b)内具有连续导数.在曲 线上取固定点Mox,yo)作为度 y=(x) 量弧长的基点.对曲线上任一点 M Mc,y),规定有向弧段MoM的 值s如下：s的绝对值等于这弧 段的长度，当M位于Mo的右 a xo x b 侧时s>0,否则s<0.于是s=sx)是单调增函数 下面来求sx)的导数与微分. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第七节 曲率 x y A B a b y = f (x) O 一、弧微分 设函数 y = f (x) 在区间 (a , b) 内具有连续导数. 在曲 线上取固定点 M0 (x0 , y0 ) 作为度 量弧长的基点. 对曲线上任一点 M(x , y)，规定有向弧段 M0M 的 值 s 如下：s 的绝对值等于这弧 段的长度，当 M 位于 M0 的右 侧时 s > 0，否则 s < 0 . 于是 s = s(x) 是单调增函数. M0 M 0 x x 下面来求 s(x) 的导数与微分

第七节曲率 如图所示， △s=MM'-MM=MM.于是 (△x)2 MM (△x)2+(△y)2 y=f(x) |MM'] (△x)2 M B M a xo xx+△xb 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第七节 曲率 x y A B M0 M M 0 a x x x+x b y = f (x) x y O 如图所示， s = M0 M− M0 M = MM  . 于是 2         x s 2         = x MM 2 2 2 ( ) | | | | x MM MM MM              = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) | | x x y MM MM   +             = 1 , | | 2 2                 +           = x y MM MM 1 . | | 2 2                  +           =    x y MM MM x s

第七节曲率 △S MM' △x MM'] △x MM' lim y 0IMM 小，im =y, y=f(x) ds M =±V1+y2 M △y dx Mo 因为S=sx)是单调增函数， 所以-V+y2, ds 于是有 dx a xo xx+△xb ds =1+ydx 弧微分 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第七节 曲率 1, | | | | lim 0 =    → MM MM x  , lim 0 y x y x =     → 1 . | | 2 2                  +           =    x y MM MM x s 1 . d d 2 y x s  =  +  因为 s = s(x) 是单调增函数， 所以 1 , d d 2 y x s = +  于是有 d 1 d . 2 s = + y  x 弧微分 x y A B M0 M M 0 a x x x+x b y = f (x) x y O

第七节曲率 二、曲率及其计算公式 1.定义 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度.那么 如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 从图中可以看出，弧段AB的弯 曲程度比弧段CD的弯曲程度大， 它们在端点处切线的转角有关系式 △01>△C2 上页 下页 返回ath6s 公式 线与面八数学家

第七节 曲率 二、曲率及其计算公式 1. 定义 在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度. 那么 如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 1 2 A B C D 从图中可以看出，弧段 AB 的弯 曲程度比弧段 CD 的弯曲程度大， 它们在端点处切线的转角有关系式 . 1  2

第七节曲率 即曲线弧的弯曲程度与在两端点的切线转角成正比. 但在下图中，大小两个圆都与两 坐标轴相切，切点分别为A,B,C, D,两曲线弧在两端点的切线转角 相等均为).但显然弧段AB的弯 曲程度更大些.其原因是弧段AB 的弧长小于弧段CD的弧长.这就 是说曲线弧的弯曲程度与弧长成反比， 上页 下页 返回 ath6s公式 线与面数学家

第七节 曲率 即曲线弧的弯曲程度与在两端点的切线转角成正比. 但在下图中，大小两个圆都与两 坐标轴相切，切点分别为 A , B , C , D，两曲线弧在两端点的切线转角 相等均为 . 2 π 但显然弧段 AB 的弯 曲程度更大些. 其原因是弧段 AB 的弧长小于弧段 CD 的弧长. 这就 是说曲线弧的弯曲程度与弧长成反比. A B C D x y O

第七节曲率 定义设弧段AB的弧长为△s,两个端点处的切线转 角为△a,则称 △0 △s 为弧段AB的平均曲率， △ K=lim lim x->0 As 称为曲线在点A处的曲率 上页 下页 返回ath6 人公式 线与面人数学家

第七节 曲率 定义 设弧段 AB 的弧长为 s，两个端点处的切线转 角为 ，则称 s K   =  为弧段 AB 的平均曲率， s s K B A x   =   = →  →   lim lim 0 称为曲线在点 A 处的曲率

第七节曲率 △ △ K=lim B→A ΛS △x-→0 △S 2.曲率的计算公式 设曲线的方程为y=fx),且fx)具有二阶导数， 因为tana=y',所以 sec-a =y",d da da dx 1+tan20 1+y2 v" da= dx 1+y2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面数学家

第七节 曲率 2. 曲率的计算公式 设曲线的方程为 y = f (x) ，且 f (x) 具有二阶导数， s s K B A x   =   = →  →   lim lim 0 因为 tan = y  , 所以 , d d sec2 y x =    , d 1 tan 1 d 2 2 y y y x +   = +  =   d . 1 d 2 x y y +    =

第七节曲率 △C △0 K=lim lim da dx B→A △S △x→0 1+y2 又因为 ds =v1+y2dx, 于是得到曲率的计算公式为 y" (1+y2)2 若曲线的方程由参数方程x=p(),y=y)给出， 则 K=1p'(w0-p"0)p'0) [p2(t+2(t)]2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第七节 曲率 s s K B A x   =   = →  →   lim lim 0 d . 1 d 2 x y y +    = 又因为 d 1 d , 2 s = + y  x 于是得到曲率的计算公式为 . (1 ) | | 2 3 2 y y K +   = 若曲线的方程由参数方程 x = (t) , y = (t) 给出， 则 . [ ( ) ( )] | ( ) ( ) ( ) ( )| 2 3 2 2 t t t t t t K        +    −   =

第七节曲率 例1证明 (1)直线上任一点的曲率等于零； (2)圆上任一点的曲率都相等 证明 例2抛物线y=2+bx+c上哪一点的曲率最大？ 解 y,=2x2-8x+.9 2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第七节 第七节 曲率 曲率 证明 例1 证明 (1) 直线上任一点的曲率等于零； (2) 圆上任一点的曲率都相等. (1) 设直线的方程为 y = kx + b，则 y = k , y = 0 , 于是 2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ) | 0 | + k = = 0 . 例1 证明 (1) 直线上任一点的曲率等于零； (2) 圆上任一点的曲率都相等. 例2 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大？ 第七节 曲率 解 例2 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大？ 求一阶、二阶导数，得 y = 2ax + b , y = 2a , 于是曲率为 . [1 (2 ) ] | 2 | 2 3 2 ax b a K + + = 由此可知，当分母取最小值时，曲率最大. 而分母当 a b x 2 = − 取最小值1，此时最大曲率为 | 2a | . 即抛物线 在顶点处的曲率最大，这从图形上可以直观看出. x y 2 8 9 2 y = x − x + O 2 x y 2 8 9 2 y = x − x + O 2