《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章不定积分_D4习题课

习题课 第四章 不定积分的汁算方法 一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章

一、 求不定积分的基本方法 1.直接积分法 通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 2.换元积分法 ∫/e)dr 第一类换元法 [fIp(p()d 第二类换元法 (代换：x=p(t) (注意常见的换元积分类型 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) x =(t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.分部积分法 ∫uw'dx=uv-∫dx 使用原则 1)由v易求出v, 2)∫avdx比uvdr好求 一 般经验：按“反，对，幂，指，三”的顺 序 排前者取为u,排后者取为v' 计算格式：列表计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 分部积分法  = −  u v dx u v 使用原则: 1) 由 v  易求出 v ; 2)  u  v dx 比 好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v  . 计算格式: 列表计算  u  vdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束

多次分部积分的规律 「av+Ddx=unm）-「yodr =upm）-2pr-l+vr-l0dr =upmw-va-》+r-2》-uvr-2dk =no-wa-D+m-2）-+(-1)*4m+pdx 快速计算表格 u(k) u u(n) L(n+1) (n+1-k) y(+1) D( (n-l 特别：当u为n次多项式时，u+)=0,计算大为简便 HIGH EDUCATION PRESS ©-◆OC①8 机动目录上页下页返回结束

u v x n d ( 1)  +  = u v − u  v x n n d ( ) ( ) ( ) ( −1) = −  n n uv u v  − + u  v x n d ( 1) = = u v (n) −u  v (n−1) + u  v (n−2) − u v x n n ( 1) d 1 ( 1)  + + + − 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( −1) ( −2) = −  +  n n n uv u v u v u v x n d ( −2)  −  快速计算表格: (k ) u (n 1 k ) v + − u u  u   (n) u (n+1) v (n) v (n−1) v  v  + − + n (−1) (n+1) u v  + − 1 ( 1) n 特别: 当 u 为 n 次多项式时, 0, ( 1) = n+ u 计算大为简便

解赋j arctan()* +C In2-In3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 原式 x x x x x d 3 2 2 3  2 2 + = x x x d 1 ( ) ( ) 2 3 2 3 2  + =  + = x x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) d ( ) ln 1 a a a x x x d = ln d C x + − = ln 2 ln3 arctan( ) 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

家j。 1+x2 解 原式=j[In(x+1+x)+sjd[in(x+1+x)+5】 In(+1+T)+5]+C 分析： 0+d 2x dx d[ln(x+V1+x2)+5]= x+v1+x2 V1+x2 HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束

例2. 求 解:  = + + + 2 1 [ln( 1 ) 5] 2 原式 x x d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + 2 x + 1+ x = x x x (1 )d 2 2 1 2 + + 2 1 d x x + =  3 2 = ln( 1 ) 5 2 x + + x +  2 +C 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x +

例3.求 1+cosx 解： 原式∫。 2 2 dx 2 分部积分 =+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求 解 : 原式 x x x x x d 2 2cos 2 cos 2 2sin 2  + =  = 2 d tan x x x x d 2 tan  + C x = x + 2 tan 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设y(x-y)2=x,求积分 解：y(x-y)2=x 令-y1,即=-， x=y=2- 而dx= 22-3)di (2-1)2 ,-, 2-172-1 =2-1+C =jIn(x-y)2-1+C HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束

例4. 设 解: 令 x − y = t, 求积分 即 y = x −t , 1 2 3 − = t t x , 1 2 − = t t y 而 t t t t x d ( 1) ( 3) d 2 2 2 2 − − =  =   1 原式 t t t t d ( 1) ( 3) 2 2 2 2 − − 1 2 3 t − t 1 3 2 − − t t = ln (x − y) −1 +C 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求 ∫arctan dx. ex 解：原式=∫arctanede dx =-e arctane*+x -In(1+e2x)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 求 解:  = − x 原式 arctan e x e − d x x e arctan e − = −  − + x e x e e x x d 1 2 + x x e arctan e − = − x e e e x x x d 1 (1 ) 2 2 2  + + − + x x e arctan e − = − + x e C x − ln(1+ ) + 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.求∫(x3-x+2)e2rdr. 解：取u=x3-x+2,v4)=e2x -2 6x v(4-) e2x 6e2 .原式=e2[(x3-x+2)-4(3x2-1)+g6x-6可+C =8e2x(4x3-6x2+2x+7)+C e 说明：此法特别适用于 ∫P(x) sin ax dx 如下类型的积分 cos ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例6. 求 解: 取 2 3 x − x + 3 1 2 x − 6x 6 0 x e 2 x e 2 2 1 x e 2 4 1 x e 2 8 1 x e 2 16 1 + − + −  x e 2  原式 = ( 2) 3 2 1 x − x + (3 1) 2 4 1 − x − 6x 8 1 +  e x x x C x = (4 − 6 + 2 + 7) + 2 3 2 8 1 6 16 1 −   +C x ax ax e P x k x n d cos ( ) sin            机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: