《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章微分中值定理与导数的应用_第八节方程的近似解

第八节方程的近似解 一、根的隔离 二、二分法 三、切线法 *四、牛顿迭代分形 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 一、根的隔离 三、切线法 二、二分法 *四、牛顿迭代分形

第八节方程的近似解 一、根的隔离 求方程的近似解，可分两步来做、 第一步是确定根的大致范围。具体来说，就是确定 一个区间，b1,使方程在该区间上只有唯一根.这一 工作称为根的隔离，区间[α，b]称为根的隔离区间。 若函数f)在[a,b1上连续，f(of(b)<0,且严格 单调，则[a,b1一定是一个隔离区间.求隔离区间的方 法一般用作图法 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 一、根的隔离 求方程的近似解，可分两步来做. 第一步是确定根的大致范围. 具体来说，就是确定 一个区间 [a , b]，使方程在该区间上只有唯一根. 这一 工作称为根的隔离，区间 [a , b] 称为根的隔离区间. 若函数 f (x) 在 [a , b] 上连续，f (a)f (b) < 0，且严格 单调，则[a , b] 一定是一个隔离区间. 求隔离区间的方 法一般用作图法

第八节方程的近似解 直接作出函数y=f心)的图形，从图形中估计出曲 线与x轴交点的大致范围即隔离区间.作图时，有时 也可将方程fx)=0转化成等价方程p)=),分别 作函数y=x)和y=x)的图形，确定这两曲线交点 的大致范围即隔离区间 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 直接作出函数 y = f (x) 的图形，从图形中估计出曲 线与 x 轴交点的大致范围即隔离区间. 作图时，有时 也可将方程 f (x) = 0 转化成等价方程 (x) = (x)，分别 作函数 y = (x) 和 y = (x) 的图形，确定这两曲线交点 的大致范围即隔离区间

第八节方程的近似解 例如，对于方程fx)=x-x-1=0,作图如下： 因为 v(x)x+1 f(1)=-10, px)=人3 在(1,2)内f'c)>0, x 所以[1,2]为隔离区间. f)=x3-x-1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 例如，对于方程 f (x) = x 3 – x – 1 = 0，作图如下： 因为 f (1) = -1 0， 在 (1 , 2) 内 f (x) > 0， 所以 [1 , 2] 为隔离区间. f (x) = x 3 – x – 1 (x) = x 3 (x) = x + 1 x y O

第八节方程的近似解 第二步在隔离区间上求满足精度要求的根.这一步 是求根的关键，主要方法有二分法和切线法. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 第二步在隔离区间上求满足精度要求的根. 这一步 是求根的关键，主要方法有二分法和切线法

第八节方程的近似解 二、二分法 设[，b]是方程f(x)=0根的一个隔离区间，求方 程在该区间内的根。 二分法的基本思想是：用中点把区间[，b]分成两 个子区间，则根必在这两个子区间中的某一个之内， 确定含根的子区间，并以该子区间为新的隔离区间，重 复应用上述步骤，直到求出满足精度要求的根. 二分法的步骤如下： 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 二、二分法 设 [a , b] 是方程 f (x) = 0 根的一个隔离区间，求方 程在该区间内的根. 二分法的基本思想是：用中点把区间 [a , b] 分成两 个子区间，则根必在这两个子区间中的某一个之内， 确定含根的子区间，并以该子区间为新的隔离区间，重 复应用上述步骤，直到求出满足精度要求的根. 二分法的步骤如下：

第八节方程的近似解 Step1令L=a,R=b,设定求根精度Eps; Step2求中点M=(L+R)/2,若|f(M0l<Eps, 则 x=M即是满足要求的根，求根结束.否则转Step3; Step3若f(Lf0<0,则令L=a,R=M转Step2, 若fMf(R)<0,则令L=M,R=b转Step2. f(Lf(M)<0 M R x Mf(M)f(R)<0 元 M R L R x LR 文 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 Step1 令 L = a , R = b , 设定求根精度 Eps； Step2 求中点 M = (L + R)/2 , 若 | f (M)| < Eps， 则 x = M 即是满足要求的根，求根结束. 否则转Step3； Step3 若 f (L)f (M) < 0，则令 L = a , R = M 转Step2, 若 f (M)f (R) < 0，则令 L = M , R = b 转Step2. L R f (L)f (M) < 0 M x L R M f (M)f (R) < 0 x L R M x L R x

第八节方程的近似解 例1求方程fx)=x3-x-1=0的近似根，精度 Eps=10-3. 解 令L=1,R=2. n L M R AL fM) AR) 1 1 1.5 2 -1 0.87 5 2 1 1.25 1.5 -1 -0.2969 0.87 3 1.25 1.375 1.5 -0.2969 0.2246 0.87 4 1.25 1.3125 1.375 -0.2969 -0.0515 0.2246 5 1.3125 1.3437 1.375 -0.0515 0.08239 0.2246 6 1.3125 1.3281 1.3437 -0.0515 0.01447 0.08239 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 例1 求方程 f (x) = x 3 – x – 1 = 0 的近似根，精度 Eps = 10-3 . 解 令 L = 1 , R = 2 . L M R f(L) f(M) f(R) 1 1.5 2 -1 0.87 5 n 1 2 1 1.25 1.5 -1 -0.2969 0.87 3 1.25 1.375 1.5 -0.2969 0.2246 0.87 4 1.25 1.3125 1.375 -0.2969 -0.0515 0.2246 5 1.3125 1.3437 1.375 -0.0515 0.08239 0.2246 6 1.3125 1.3281 1.3437 -0.0515 0.01447 0.08239

第八节方程的近似解 n L M R fL) fM) AR) 6 1.3125 1.3281 1.3437 -0.0515 0.01447 0.08239 7 1.3125 1.3201 1.3281 -0.0515 -0.01961 0.01447 8 1.3201 1.3241 1.3281 -0.01961 -0.00263 0.01447 9 1.3241 1.3261 1.3281 -0.002630.005901 0.01447 10 1.3241 1.3251 1.3261 -0.00263 0.00163 0.005901 11 1.3241 1.3246 1.3251 -0.00263 -0.0005 0.00163 所以近似根为x≈1.3246. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 n L M R f(L) f(M) f(R) 6 1.3125 1.3281 1.3437 -0.0515 0.01447 0.08239 7 1.3125 1.3201 1.3281 -0.0515 -0.01961 0.01447 8 1.3201 1.3241 1.3281 -0.01961 -0.00263 0.01447 9 1.3241 1.3261 1.3281 -0.00263 0.005901 0.01447 10 1.3241 1.3251 1.3261 -0.00263 0.00163 0.005901 所以近似根为 x  1.3246 . 11 1.3241 1.3246 1.3251 -0.00263 -0.0005 0.00163

第八节方程的近似解 三、切线法 设fx)在[a,b]上具有二阶导数，f(@f(b)<0且 f'x)及f"x)在a,b]上保持定号.则[a,b]为根的一 个隔离区间.此时，函数y=fx)的图形有以下四种不 情形. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 方程的近似解 三、切线法 设 f (x) 在 [a , b] 上具有二阶导数，f (a) f (b) < 0 且 f (x) 及 f (x) 在 [a , b] 上保持定号. 则 [a , b] 为根的一 个隔离区间. 此时，函数 y = f (x) 的图形有以下四种不 情形