《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章函数与极限_第十节闭区间上连续函数的性质

第十节闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性

第十节闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 定理1在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一 定取得最大值和最小值。 证明略。 如图所示的函数为 π 2 y=xsin x,它在闭区间 y=xsin x 3π [-2π，2π上连续，故取得 2 3 2 2 2 爱大值于最小值-习 3π 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 定理1在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一 定取得最大值和最小值. 证明略. 如图所示的函数为 y = xsin x，它在闭区间 [-2 , 2] 上连续，故取得 最大值 , 2 π 最小值 . 2 3π − x y y = xsin x 2 3π − 2 π − 2 π 2 3π 2 π 2 3π − O

第十节闭区间上连续函数的性质 注意 定理1是一个充分性定理， 如果函数不满足“在闭区间上连续”这一条件，则 应 可能取得最值，也可能不取得最值.例如，y=xsin 它在开区间(-2π，2π)上 连续，它仍可取得最大 π 2 乃，最小 值 、 3元 y=xsin x 3π 2 3π 2 2 2 2 3π 2 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 注意 定理1是一个充分性定理. 如果函数不满足“在闭区间上连续”这一条件，则 它 可能取得最值，也可能不取得最值. 例如，y = xsin x 它在开区间(-2 , 2) 上 连续， 它仍可取得最大 值 , 2 π 最小值 . 2 3π − x y y = xsin x 2 3π − 2 π − 2 π 2 3π 2 π 2 3π − O

第十节闭区间上连续函数的性质 又如，y=x2sinx它在开区间(-1.5,1.5)上连续，但它不 取得最大值和最小值. yx2sin x -1.5 1.5 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 又如，y = x 2 sin x 它在开区间(-1.5 , 1.5) 上连续, 但它不 取得最大值和最小值. x y y = x 2 sin x -1.5 O 1.5

第十节闭区间上连续函数的性质 再如，函数 -x+1,0≤x<1 y=f(x)= 1, x=1, -x+3,1<x≤2 2 x 在闭区间0,2]上有间断点x=1,这函数fx)在闭区 间0,2]上虽然有界，但是既无最大值又无最小值. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 再如，函数      − +   = − +   = = 3, 1 2 1, 1, 1, 0 1, ( ) x x x x x y f x 在闭区间 [0 , 2] 上有间断点 x = 1，这函数 f (x) 在闭区 间 [0 , 2] 上虽然有界，但是既无最大值又无最小值. x y 1 1 2 O 2

第十节闭区间上连续函数的性质 二、零点定理与介值定理 定义如果使fco)=0,则称x为函数fw)的 零点. 定理2（零点定理）设函数fx)在闭区间[，b]上连 续，且f(@与fb)异号（即f(@)·fb)<0),那么在开 区间(a,)内至少存在一点5，使 f(5)=0. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 二、零点定理与介值定理 定义 如果 x0 使 f (x0 ) = 0，则称 x0 为函数 f (x) 的 零点. 定理2(零点定理) 设函数 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连 续，且 f (a) 与 f (b) 异号 (即 f (a)  f (b) < 0)，那么在开 区间 (a , b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) = 0

第十节闭区间上连续函数的性质 例如，如图所示的函数f(x)=x+2sinx-2在闭区 间[0,4上连续，且f(0)=-20, 故曲线y=x+2sinx-2与x轴 至少有一个交点，也即方程 x+2sin x-2=0 f(x)=x+2sin x-2 在区间(0,4)内至少有一根， 4x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 例如，如图所示的函数 f (x) = x + 2sin x – 2 在闭区 间 [0 , 4] 上连续，且 f (0) = – 2 0, 故曲线 y = x + 2sin x – 2 与 x 轴 至少有一个交点，也即方程 x + 2sin x – 2 = 0 在区间 (0 , 4) 内至少有一根. x y O f (x) = x + 2sin x – 2  4

第十节闭区间上连续函数的性质 注意 如果函数在闭区间上不连续，则在开区间内可能有 零点，也可能没有零点.例如，fx)=二在闭区间【4,4 上不连续，但f(4)=-0.250,可是fx)=1在 f(x 0 区间(4,4)内无零点， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 注意 如果函数在闭区间上不连续，则在开区间内可能有 零点，也可能没有零点. 例如， x f x 1 ( ) = 在闭区间 [-4 , 4] 上不连续，但 f (-4) = -0.25 0, 可是 x f x 1 ( ) = 在 区间 (-4 , 4) 内无零点. x f x 1 ( ) = x y O

第十节闭区间上连续函数的性质 定理3（介值定理）设函数fx)在闭区间[，b]上连 续，且在这区间的端点取不同的函数值 f(0=A及f(b)=B, 那么，对于A与B之间的任意一个数C.在区间(a.b) 内至少有一点5，使得 B f(5)=C. y=f(x) 证明 几何意义如图所示. 0a5155bx 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 定理3(介值定理) 设函数 f (x) 在闭区间 [a , b] 上连 续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B， 那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在区间(a , b) 内至少有一点 ，使得 f ( ) = C . 几何意义如图所示. 第十节 闭区间上连续函数的性质 证明 f (x)C[a,b], f (a) = A , f (b) = B , A  B , C 介于 A 与 B 之间，证明存在 (a , b)，使 f( ) = C. 令 g(x) = f (x) – C ，则 g(x) 在闭区间 [a , b] 上连续，且 g(a) = A – C 与 g(b) = B – C 异号，根据零 点定理，在开区间 (a , b) 内至少有一点  使得 g() = 0 (a<  <b) . 即 f() = C (a<  <b) . 证毕 A B C a b x y 1 2 3 y=f (x) O

第十节闭区间上连续函数的性质 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与 最小值之间的任何值 例1证明方程x3.4x2+1=0在区间(0,1)内至少有 一根. 证明 f(x)=x3-4x2+1 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第十节 闭区间上连续函数的性质 例1 证明方程 x 3 - 4x 2 + 1 = 0 在区间 (0 , 1) 内至少有 第十节 闭区间上连续函数的性质 证明 例1 证明方程 x 3 - 4x 2 + 1 = 0 在区间 (0 , 1) 内至少有 一根. 函数 f (x) = x 3 - 4x 2 + 1 在闭区间 [0 , 1] 上连续， 又 f (0) = 1 > 0 ，f (1) = -2 < 0 ， 根据零点定理，在(0 , 1) 内至少有 一点 ，使得 f ( ) =  3 - 4 2 + 1 = 0, 即 0 <  < 1 是方程 x 3 - 4x 2 + 1 = 0 的根. ( ) 4 1 3 2 f x = x − x + x y O 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与 最小值之间的任何值. 一根. ( ) 4 1 3 2 f x = x − x + x y O