《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-8 常系数非齐次线性微分方程

第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPm(x)型 二、f(x)=e2x[D(x)cos@x +户n(x)sin@x]型 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 f (x) = e  x Pm (x) 型 f x e P x x l x   ( ) = [ ( ) cos ( )sin ]型 ~ P x x + n  一、 二、 第十二章

二阶常系数线性非齐次微分方程 y”+py+qy=f(x)(p,q为常数) 根据解的结构定理，其通解为 y=Y+y* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法一 待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结

y  + py  + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束

f(x)=eixp(x)型 入为实数，Pm(x)为m次多项式 设特解为y*=e2xQ(x),其中Q(x)为待定多项式 y*=ex[2(x+'x] y*"=e2x[29(x)+2(x+Q"(y] 代入原方程，得 Q'(x)+(22+p)Q'(x)+(22+p元+q)Q(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p人+g≠0，则取 Q(x)为m次待定系数多项式Q,m(x),从而得到特解 形式为y*=e2xnm(x) HIGH EDUCATION PRESS 0C8 机动目录上页下页返回结束

e [Q (x) x   + ( 2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 +  + p  + q Q x e Pm(x)  x = 一、 f (x) = e  xPm (x) 型  为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) ,  x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x  =  +   * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x  =  +   +   代入原方程 , 得 (1) 若  不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x) . m  x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Q"(x)∈(22+D0'(x)+p元+92(x)=Pm(x) (2)若入是特征方程的单根，即 22+p元+9=0,22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式，故特解形式为y*=xQnm(x)e2 (3)若入是特征方程的重根，即 22+p2+q=0,22+p=0 则O"(x) 是m次多项式，故特解形式为y*=xQm(x)e2x 小结对方程①，当)是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xQnm(x)e2x(k=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e  * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x) e (k = 0,1, 2) x m k  此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 +  + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求方程y”-2y-3y=3x+1的一个特解 解：本题2=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根 设所求特解为y*=b0x+b1,代入方程 -3b0x-3b1-2b0=3x+1 比较系数，得 -36=3 26-36=1 b=-1,b=3 于是所求特解为y*=一x+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为  = 0  = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求方程y”-5y'+6y=xe2的通解 解：本题2=2，特征方程为，2-5r+6=0,其根为 1=22=3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2 代入方程得-2bx-b+2b,=x 比较系数，得 0一的-月4 因此特解为y*=x(-2x-1)e2x 所求通解为y=C1e2+Cex-(2x2+x)e2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x − b + b = x 0 1 0 2 2 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e  = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、f(x)=e2x[B(x)cos@x+pn(x)sinox]型 分析思路： 第一步将f(x)转化为 f(x)=Pn(x)e()(x)e(i)x 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=Pn(x)e(tio)x y"+py'+qy=P(x)e(atio)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 f x e  x  Pl x  x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( ) cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x Pm x e ( ) ( ) +  第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) +   +  + = y  + py  + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) +  机动 目录 上页 下页 返回 结束

第一步利用欧拉公式将f(x)变形 f)=e24P() +P(x) eiox-e-iox 2i -4,] 令m=max{n,1},则 f(x)=P(x)e(+( =Pm(x)ePn(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形   = x f x e  ( )       = + i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (+ )       + − i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (− ) = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) −  = + +i x mP x e ( ) ( )   i x mP x e ( ) ( ) +  令 m = maxn, l ,则 P (x) l 2 i x i x e e  −  + ( ) ~ P x + n  −  − i e e i x i x 2   机动 目录 上页 下页 返回 结束

第二步求如下两方程的特解 y"+py'+qy=Pn(x)e(atio)x y"+py'+qy=P(x)e(atio)x ③ 设入+i0是特征方程的k重根(k=0,1),则②有 特解 y=x*m(x)ea+io)x(gm(x)为m次多项式) 故 (vi)"+p(vi)+qyi=P(x)e(Atio)x 等式两边取共轭： 片+p+qy=Pn(x)e+o 这说明y为方程③的特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第二步 求如下两方程的特解  + i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i x m k y x Q x e ( ) 1 ( )  +  = (Qm (x)为m次多项式) 故 i x y p y q y Pm x e ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( )    +   +  +  等式两边取共轭 : i x y p y q y Pm x e ( ) 1 1 1 ( )    +  +   +   1 这说明 y 为方程 ③ 的特解 . i x m y py qy P x e ( ) ( ) +   +  + = ② i x m y py qy P x e ( ) ( ) +   +  + = ③ 设 则 ② 有 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

第三步求原方程的特解 原方程 y"+py'+qy=ex P(x)cosox+P(x)sin@x 利用第二步的结果，根据叠加原理，原方程有特解 y*=+ =xex[Ome+Ome-io] =xkex[Om (cos@x+isin@x) +em (cos@x-isin@x)] =xkex[Rm cos@x+R sin@x] 其中Rm,Rm均为m次多项式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :   = 1 + 1 y* y y   k x x e  = i x m i x Qm e Q e  −  + 原方程 y  + py  + qy = e  P x x P x x  l n x    ( )sin ~ ( ) cos +  k x x e  = Qm (cos x + i sin x) + Qm (cos x − i sin x)    k x x e  = Rm cos x Rm sin x ~ + R m R m ~ 其中 , 均为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束