《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_4-2 换元积分

第二为 第四章 换无积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 HIGH EDUCATION PRESS 新动

二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章

基本思路 设F'(m)=f(u)u=2(x可导，则有 dF[o(x)]=f[o(x)]o'(x)dx o(x)1o'(x)dx =FL(x)]+C=F(u)+C(x) =f(u=os） 第一类换元法 「f[p(x]o'(x)d [f(u)du HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结环

第一类换元法 f [(x)](x)dx  f (u)du  基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 F(u)  f (u), u (x) 可导,     f [(x)] (x)dx F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u    ( ) ( ) C u x F u    dF[(x)]  f [(x)](x)dx 则有

一、第一类换元法 定理1.设f(u)有原函数，u=p(x)可导，则有换元 公式 j/e(xpe=rwu=oN) 即 ∫fp(xp'(xdx=∫f(o(x)dp(x) (也称配元法，凑微分法) HIGH EDUCATION PRESS

一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u (x)可导, 则有换元 公式    f [(x)] (x)dx  f (u)du u (x)  f ((x))d(x) (也称配元法 即    f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求「(ax+b)mdx(m≠-l) 解：令u=ax+b,则W=a,故 原式e-Ja-网n4C m+Dc+b1+C 注当m=-1时276na+C 总结：0Jfar+br=aff(as+b)dax+) HIGH EDUCATION PRESS 返回 结绿

例1. 求 (  ) d (  1).  ax b x m m 解: 令 u  ax  b ,则 u  a , 故 原式 = m u u  dx a 1  u C m m    1 1 1 1 ( ) ( 1) 1     m ax b a m  C 注: 当m  1时    ax b d x ax b C a ln   1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 a m u du  1 a     (1) f (ax b)dx  f (ax  b) d(ax  b) a 1 总结：

例2.求 dx 想到公式 du dx arctanu+C d arctan u C -aretan()+ HIGH EDUCATION PRESS

   2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2. 求   . d 2 2 a x x 解:   2 2 d a x x , a x 令 u  则 1 du dx a    2 1 u du a 1 u C a  arctan  1 C a x a  arctan( )  1 想到公式   2 1 d u u  arctan u  C ( ) a x  机动 目录 上页 下页 返回 结束   2 1 u 1 dx a a 1 

dx (a>0) dx arcsin+C a d 想到 1- arcsin u C 「fLp(x]9'(x)dx=「f(o(x)dp(x) (直接配元） HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结环

例3. 求    ( 0). d 2 2 a a x x    2 1 d u u 想到 arcsin u  C 解:   2 1 ( ) d a x a x    f ((x))d(x) (直接配元)  f [(x)] (x)dx    2 1 ( ) d ( ) a x a x C a x  arcsin     2 2 d a x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求∫2xed 解：令u=x2,则W=2x,故 原式=∫e(x)dr=∫erdx2=∫e =e”+C=e+C 总结：0Jfx=j/x)dr HIGH EDUCATION PRESS

例4. 求 2 2 d . x xe x  解: 令 2 u x , 则 u  2x , 故 原式 = 2 x e    2 x dx  u  e C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u  e du  2 x  e  2 dx 2 x  e C 总结： 2 (1) f(x )xdx  2 f (x )  2 dx 1 2

例5.求∫x1-x产dr 解：令u=x2,则4=2x,故 原式=打V1-xdr -w=d-) =-子-*c=0-xa-x》 =-x)+c HIGH EDUCATION PRESS

  3 2 1 2 1 2 3     v  c   3 2 2 1 1 3    x  c 例5. 求 2 x 1 x dx .  解: 令 2 u x , 则 u  2x , 故 原式 = 2 1 x  2 dx 2 1 1 2 v x v    dv     1 2 1 1 1 2    v d  v  1 2     1 1 2 2 2 1 1 2    x d  x 

例4.求「tan xdx 绿Jm=4=- cos x -In cosx C 类似 w-a- In sinx +C HIGH EDUCATION PRESS

例4. 求 tan d .  x x 解:  x x xd cos sin    x x cos dcos  ln cos x C cot d  ?  x x  x x x sin cos d  ln sin x C   x x sin dsin   tan xdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似

dx 解： x2-a22a (x-a)(x+a) 原式=。 -] 2finalallc HIGH EDUCATION PRESS 自录 返回 结环

C x a x a a     ln 2 1 例5. 求 . d  2 2 x  a x 解: 2 2 1 x  a  (x  a)(x  a) (x  a)  (x  a) 2a 1  ) 1 1 ( 2 1 a x a x  a    ∴ 原式 =    2a 1      x a x x a dx d        2a 1    x a d(x a)     2a 1  ln x  a  ln x  a C     x a d(x a) 机动 目录 上页 下页 返回 结束