《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_7-1 基本概念

第七章 微分方程 已知y=f(x),求y一积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程，求y 一微分方程问题

微分方程 第七章 已知 y  = f (x), 求 y — 积分问题 已知含 y及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题 推广

第一为 第十二章 微分方程的基本桡念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章

引例1.一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解：设所求曲线方程为y=x),则有如下关系式 1 x=1=2 由①得y=2xdx=x2+C (C为任意常数) 由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + 2 y x=1= ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时 获得加速度a=-0.4m/s2,求制动后列车的运动规律 解：设列车在制动后t秒行驶了s米，即求s=s(0) =-0.4 已知 a S1=0=0, d71=0=20 由前一式两次积分，可得 s=-0.22+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20,C2=0 因此所求运动规律为 s=-0.2t2+201 说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住，以及制动后行驶了多少路程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程（本章内容） 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地，n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,.,ym=0 或ym=f(x,y,y,.,ym-)(n阶显式微分方程〉 HIGH EDUCATION PRESS 机 页返回结束

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( )  = n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的解一 使方程成为恒等式的函数， 通解一 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一 不含任意常数的解，其图形称为积分曲线， 定解条件 一确定通解中任意常数的条件， n阶方程的初始条件（或初值条件） y(x)=%,y'(x0)=%,y-V(x)=y (n-1) =2x d-y =-0.4 引例1 引例2 yx=1=2 s=0810=20 通解 y=x-+C s=-0.2t+Ct+C2 特解 y=x2+1 s=-0.212+201 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C0-& 机动目录上页下页返回结束

0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例 s 2 0.4 2 2 d d = − x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例1 y = x + C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证函数x=C1cosk1+C2sink1(C1,C2为常数) 是微分方程 d,+x=0的解并求满足初始条件 d'x 0=A,8 dt t=07 =0的特解 解 d-x =-Cik2coskt -C2k2 sin kt =-k2(C coskt+C2 sinkt)=-k2x 这说明x=C,coskt+C2 sinkt是方程的解 C1,C,是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt HIGH EDUCATION PRESS 页返回结束

例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: 2 1 2 = − + k C kt C kt ( cos sin ) 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知曲线上点Px,)处的法线与x轴交点为Q 且线段PQ被y轴平分，求曲线所满足的微分方程 解：如图所示，点Px,y)处的法线方程为 Y-y=- (X-x) 2 令Y=0,得Q点的横坐标 X=x+yy x+yy=-x,即yy'+2x=0 思考与练习 P263(习题12-1) 1；2(3),(4);3(2):4(2),(3)；6 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C08 第二节目录上页下页返回结束

求曲线所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q P Q x y o x 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 yy  + 2x = 0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 P263 (习题12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思考与练习