《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章导数与微分_D2习题课

习题课 第二章 导数与微分 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 一、 导数和微分的概念及应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数和微分的求法 导数与微分 第二章

导数和微分的概念及应用 ·导数：f'(ex)=1imr+△)-fx) △x→0 △x 当△x0时，为右导数(x) 当△x0时，为左导数'(x) ·微分：df(x)=f'(x)dx 关系：可导一可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 • 微分 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • 关系 : 可导 可微

•应用 (1)利用导数定义解决的问题 1)推出三个最基本的导数公式及求导法则 (Cy=0,(nxy'=: (sinx)'=cos x 其他求导公式都可由它们及求导法则推出， 2)求分段函数在分界点处的导数，及某些特殊 函数在特殊点处的导数， 3)由导数定义证明一些命题 (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 HIGH EDUCATION PRESS D-C①8 机动目录上页下页返回结束

• 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 C x x x x ( ) 0; (ln ) ; (sin ) cos 1  =  =  = 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.设f'(x)存在，求 lim f(xo+△x+(△x))-f() △x-→0 △x 解： 原式=lim f(0+Ax+(△x)2)-f(xo).△x+(△x} △x-→0 △x+(△x) △x =f'(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.设 ( ) 0 f  x 存在,求 . ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 x f x x x f x x  +  +  −  → 解: 原式=         +  +  −  → x f x x x f x x ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 2 x + (x) 2 x + (x) ( ) 0 = f  x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.若f()=0且f"0存在，求1im f(sin2x+cosx) x→0(ex-1)tanx 解：原式=lim f(sin2x+cosx) x>0 x lim(sin2x+cosx)=1 f(1)=0 x->0 联想到凑导数的定义式 limsinx+cosx-1)-f(1).sin2x+cosx-1 x→0 sinx+cos x -1 x2 HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例2.若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . ( 1)tan (sin cos ) lim 2 0 e x f x x x x − + → 解: 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x  + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设f(x)在x=2处连续，且 lim =3, x→2x-2 求f'(2) 解0gg-2学=0 f'(2)=1im/)-f2) x→2 x-2 lim ( =3 x2X-2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3.设 f (x) 在 x = 2 处连续,且 3, 2 ( ) lim 2 = → x − f x x 求 f (2). 解: f (2) = lim ( ) 2 f x x→ ] ( 2) ( ) lim[( 2) 2 − = −  → x f x x x = 0 2 ( ) (2) (2) lim 2 − −  = → x f x f f x 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.设f(x)=1im x"e"(*-D+ax+b n-→00 en(x-1)+1 试确定常数a,b使f(x)处处可导，并求f'(x), ax+b, x1 x1时，f'(x)=2x 利用f(x)在x=1处可导，得 íf(1Γ)=f(1)=f(1) a+b=1=(a+b+1) Lf(1)=f(1) 即 a=2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4.设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a; x 1时，f (x) = 2x. f (1 ) = f (1 ) = f (1) − + (1) (1) − + f  = f  利用 f (x)在 x =1处可导， 得 即 a +b =1 ( 1) 2 1 = a + b + a = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

ax+b, x1 x1时，f(x)=2x .a=2,b=-1, f"(1)=2 2,x≤1 判别：f'(x)是否为连续函数？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 a = 2, b = −1, f (1) = 2       = 2 , 1 2 , 1 ( ) x x x f x 判别: 是否为连续函数 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) = ax + b , x 1 ( 1), x =1 2 1 a+ b + , x 1 2 x x 1时, f (x) = a, x 1时，f (x) = 2x

例5.设f(x)= x2sin,x≠0 ,讨论f(x)在x=0 0 x=0 处的连续性及可导性 解： lim/(x)=limx2sin-=0=f(0) x>0 x→0 所以f(x)在x=0处连续 x2 sin 又 lim )-f(0) =1im x>0 x x→0 1 limxsin=0f(0)=0 x>0 即f(x)在x=0处可导 HIGH EDUCATION PRESS D-C①8 机动目录上页下页返回结束

设 解: 又 例5. 所以 在 处连续. 即 在 处可导 . 处的连续性及可导性. f (0) = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 导数和微分的求法 1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧 (1)求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2)隐函数求导法一 对数微分法 (3)参数方程求导法 转化 极坐标方程求导 (4)复合函数求导法（可利用微分形式不变性） (⑤)高阶导数的求法 逐次求导归纳； 间接求导法：利用莱布尼兹公式： HIGH EDUCATION PRESS ©◆0C0-8 机动目录上页下页返回结束

二、 导数和微分的求法 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 对数微分法 (3) 参数方程求导法 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 转化 (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束