《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章不定积分_第三节分部积分法

第三节分部积分法 一、分部积分公式 二、举例 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法 一、分部积分公式 二、举例

第三节分部积分法 一、分部积分公式 由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法分部积 分法 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法 一、分部积分公式 由第一节我们已知道，对应于一个求导公式，就有 一个积分公式，在第二节中，利用复合函数的求导法则 得到了换元积分法，在本节中，将利用两个函数乘积 的求导法则，来推导另一个求积分的基本方法 分部积 分法

第三节分部积分法 设函数M=ux)及y=vx)具有连续导数，那么有 (uv)'u'v+uv', 移项 uy'(uv)'u'v, 两边积分 ∫w'dr=w-Jdr, udy uv- vdu 分部积分公式 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法 设函数 u = u(x) 及 v = v(x) 具有连续导数，那么有 (uv) = uv + uv , uv = (uv) – uv, 移 项 两边 积分 d d ,   uv  x = uv − u  v x d d .   u v = uv − v u 分部积分公式

第三节分部积分法 f2udy=w-vdu 分部积分公式的使用 应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键， 选取u和dv一般要考虑下面两点： ()v要容易求得； (2)「vdu要比「dv容易积出， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法   udv = uv − vdu 分部积分公式的使用 应用分部积分法时，恰当选取 u 和 dv 是一个关键， 选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点： (1) v 要容易求得； (2)  vdu 要比  udv 容易积出

第三节分部积分法 udy=w-「vdu 当被积函数是两类基本初等函数的乘积时，可用如 下的办法来选择u和dv: 选择u和dv时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作，而把排在后面的 那类函数选作y. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法 当被积函数是两类基本初等函数的乘积时， 可用如 下的办法来选择 u 和 dv : 选择 u 和 dv 时，可按照反三角函数、对数 函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序 (即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排 在前面的那类函数选作 u，而把排在后面的 那类函数选作 v .   udv = uv − vdu

第三节分部积分法 二、举例 例4求 arcsin xdx 例1求∫xcosxdx 解 解 例5求「xarctan xdx 例2求∫x'e'dx 解 解 例6求「sinx dx. 例3求∫xhxd 解 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 分部积分法 第三节 分部积分法 解 例1 求 x cos xdx .  反对幂三指 x cos xdx  xdsin x  = x sin x sin xdx  = − = x sin x + cos x +C . 若选择 u = 三角函数，v = 幂函数，则 2 cos d 2 x x  x cos xdx =  x x x x d cos 2 cos 2 2 2  = − x x x x x sin d 2 cos 2 2 2  = + 更难积出 例1 求 x cos xdx .  第三节 分部积分法 解 例2 求 e d . 2 x x x  反对幂三指 x x x e d 2  x x de 2  = 2 2 x e e dx x x  = − x x x x x e 2 e d 2  = − x x x e 2 xde 2  = − x x x x x x e 2 e 2 e d 2  = − + e 2 e 2e C . 2 = − + + x x x x x 例2 求 e d . 2 x x x  第三节 分部积分法 解 例3 求  x ln x dx. 反对幂三指 x ln x dx  2 ln d 2 x x  = x x x x d ln 2 ln 2 2 2  = − x x x x d 2 1 ln 2 2  = − . 4 ln 2 2 2 C x x x = − + 例3 求 x ln x dx.  第三节 分部积分法 解 例4 求 arcsin xdx .  反对幂三指 arcsin xdx  x arcsin x xd arcsin x  = − x x x x x d 1 arcsin  2 − = − d(1 ) 1 1 2 1 arcsin 2 2 x x x x − − = +  arcsin 1 . 2 = x x + − x +C 例4 求 arcsin xdx .  第三节 分部积分法 解 例5 求 x arctan xdx .  反对幂三指 x arctan xdx  2 arctan d 2 1 x x  = x x x d arctan x 2 1 arctan 2 1 2 2  = − x x x x x d 2 1 1 arctan 2 1 2 2 2  + = − x x x x d 1 1 1 2 1 arctan 2 1 2 2        + = − − arctan . 2 1 2 1 arctan 2 1 2 = x x − x + x +C 例5 求 x arctan xdx .  第三节 分部积分法 解 例6 求 e sin x dx. 反对幂三指 x  x x x e sin d  x sin x de  = x x x x e sin e d sin  = − x x x x x e sin e cos d  = − 再用分部积分 x x e sin x cos xde  = − x x x x x x e sin e cos e d cos  = − + x x x x x x x e sin e cos e sin d  = − − 得到一个方程，解之得 e (sin cos ) . 2 1 e sin xdx x x C x x = − +  例6 求 e sin x dx. x  二、举例

第三节分部积分法 例7求「sc3xdr 例10求sin(lnxx 解 解 例8求edr 例11求 dx. e*-1 解 解 例9求Vx2+a2dx(a>0). 刚12求1.-4a寸 dx 解 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第三节 第三节 分部积分法 分部积分法 解 例7 求 sec d . 3  x x  sec xdx 3  = sec x sec xdx 2  = sec xdtan x  = sec x tan x − tan xdsec x  = sec x tan x − sec x tan xdx 2  = sec x tan x − sec x(sec x −1)dx 2  = sec x tan x + ln |sec x + tan x | − sec xdx 3 (sec tan ln |sec tan |) . 2 1 sec d 3  x x = x x + x + x +C  例7 求 sec d . 3 x x  第三节 分部积分法 解 例8 求 e dx . x  令 x = t , 则 , d 2 d . 2 x = t x = t t x x e d  t t t 2 e d  = t 2 tde  = t t t t 2 e e d  = − t C t t = 2 e − e + 2e ( x 1) C . x = − + 例8 求 e dx . x  第三节 分部积分法 解 例9 求 d ( 0). 2 2 +   x a x a 令 x = atan t , dx = asec2 tdt , 则 x a dx 2 2  + a sect a sec t dt 2  =  a sec t dt 2 3  = t t t t C a = (sec tan + ln |sec + tan |) + 2 2 t x a 2 2 x + a C a x a x a a x a a x a +         + +  + + = 2 2 2 2 2 ln 2 ln( ) . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x a C a = x x + a + + + + 例9 求 d ( 0). 2 2 +   x a x a 第三节 分部积分法 解 例10 求 sin(ln x)dx .  令 t = ln x , 则 x = et , dx = et dt . sin(ln x)dx  t t t e sin d  = t t C t = e (sin − cos ) + 2 1 [sin(ln ) cos(ln )] . 2 1 = x x − x +C 例10 求 sin(ln x)dx .  第三节 分部积分法 解 例11 求 d . e 1 e x x x x  − x x x x d e 1 e  − = 2 d e −1  x x x x x x 2 e 1 2 e 1 d  = − − − 而对于积分 x x e 1 d  − 再作变量代换： , 1 2 e 1 , ln( 1) , 2 2 t t t t x t x x d d + = − = + = x x e 1 d  − t t t d 1 2 2 2  + = = 2(t − arctant) +C d 2( 2) e 1 4arctan e 1 . e 1 e x x C x x x x x = − − + − + −   例11求 . ( ) d  2 2 + = n n x a x I 第三节 分部积分法 解 例12 求 . ( ) d  2 2 + = n n x a x I  + = n n x a x I ( ) d 2 2          + − + = n n x a x x a x ( ) 1 d ( ) 2 2 2 2  + + + + = x x a x n x a x n n d ( ) 2 ( ) 2 2 1 2 2 2  + + + − + + = x x a x a a n x a x n n d ( ) 2 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) 1 2 2 2 + − + + = n n n nI na I x a x 于是 (2 1) . 2 ( ) 1 1 2 2 2       + − + n+ = n n n I x a x na I 例12 求 d . e 1 e x x x x  −