《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章定积分的应用_D6习题课

习题课 第六章 定积分的左用 1.定积分的应用 几何方面：面积、体积、弧长、表面积 物理方面：质量、作功、侧压力、引力、 转动惯量 2.基本方法：微元分析法 微元形状：条、段、带、片、扇、环、壳等 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六章

例1.求抛物线y=1-x在(0,1)内的一条切线，使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解：设抛物线上切点为M(x,1-x2) 则该点处的切线方程为 Y-1-x2)=-2x(X-x) 它与x,y轴的交点分别为 1(2,0),B(0,x2+1) 所指面积 s=-a-dx=- HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页返回结束

例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

S()=x2+)6x2-1) 令S(x)=0,得0,1]上的唯一驻点x= x等，S()>0 因此x=5是S(x)在[0，]上的唯一极小点， 且为最小点.故所求切线为 23 4 X+ HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束

且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.设非负函数f(x)在[0,1]上满足xf'(x)=f(x) +9x2,曲线y=∫()与直线x=1及坐标轴所围图形 面积为2， (1)求函数f(x): (2)α为何值时，所围图形绕x轴一周所得旋转体 体积最小？ 解：(1)当x≠0时，由方程得 xf(x)-f(x)3 2 即r/1-a 故得 3 f(x)=。ax2+Cx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又 2-/d=-a2+c)s-+9 C4-af-ar2+4-a (2)旋转体体积 -e产ao 令r=(5a+1)=0,得a=5 又 V"la=-5- .a=-5为唯一极小点，因此a=-5时V取最小值 HIGH EDUCATION PRESS ●◆00⊙8 机动目录上页下页返回结束

又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . x o y 1 x o y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.证明曲边扇形0≤a≤0≤B,0≤r≤r(0,绕极轴 证：先求[0,0+d0]上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积dVx· 体积微元rd0dr.2πrsin0 ds=2xsin Od0dr (0)sina 3 故 (0)sinodo 3 Ja HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

例3. 证明曲边扇形 绕极轴 ( )sin d . 3 2 3  =       V r ox r = r( )  x   d d r 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 r 故  =       ( )sin d 3 2 3 V r ox 旋转而成的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.求由y=2x与y=4x-x2所围区域绕y=2x 旋转所得旋转体体积 解：曲线与直线的交点坐标为A(2,4),曲线上任一点 P(x,4x-x2)到直线y=2x的距离为 p=6x2-2x /y=2x 以y=2x为数轴u(如图，则 4x-x dV=πp2du(du=V5dx) =π(x2-2x)2.5dx dx 2 故所求旋转体体积为 V=π6(x2-2x)25dx= 16 、5π HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

y = 2x 2 y = 4x − x o (du = 5 d x) 故所求旋转体体积为 (x 2x) 5d x 2 2 5 1 =   −  5 75 16 V (x 2x) 5d x = 2 2 2 0 5 1 = −   dV du 2 =   A P d x 2 du 例4. 求由 y = 2x 与 2 y = 4x − x 所围区域绕 y = 2x 旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2,4), 曲线上任一点 ( ,4 ) 2 P x x − x 到直线 y = 2x 的距离为 以y = 2x为数轴 u (如图), u 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.半径为R,密度为P的球沉入深为H(H>2R) 的水池底，水的密度Po<p,现将其从水池中取出，需做 多少功？ 解：建立坐标系如图.则对应[x,x+dx] 上球的薄片提到水面上的微功为 dw =(P-Po)g zy2 dx.(H-R+x) =(P-Po)gz(R2-x2)(H-R+x)dx 提出水面后的微功为 微元体积 dW2=pgπy2dx·(R-x) 所受重力 (x,v =Pgπ(R2-x2)(R-x)dx 上升高度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 半径为 R , 密度为 的球沉入深为H ( H > 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 [x, x + dx] 上球的薄片提到水面上的微功为 dW1 = y dx 2  提出水面后的微功为 dW2 g d ( ) 2 =   y x  R − x g (R x )(R x)dx 2 2 =   − − ( )g (R x )(H R x)dx 2 2 =  − 0  − − + H (x, y) x x y o 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 ( − 0 )g (H − R + x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此微功元素为 dw dw dw2 =gx[(P-Po)H+Po(R-x)](R2-x2)dx 球从水中提出所做的功为 W-gz[Dp-Po)4I+P(R-(R2-x)dx “偶倍奇零” =2em(P-Po)1+PoR(R2-x2)dx -3R[(P-Po)H+PoRlg HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

因此微功元素为 dW = dW1 + dW2 球从水中提出所做的功为 W H R x R x x R R [( ) ( )]( )d 2 2 = − 0 + 0 − − − g    “偶倍奇零” R x x R ( )d 2 2 0 −  2g [( ) ] =   − 0 H + 0R H x o x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.设有半径为R的半球形容器如图 (1)以每秒α升的速度向空容器中注水，求水深为 为h(0<h<R)时水面上升的速度 (2)设容器中已注满水，求将其全部抽出所做的功最 少应为多少？ 解：过球心的纵载面建立坐标系如图 则半圆方程为 x2 =2Ry-y2 设经过t秒容器内水深为h,则h=h(t) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束

例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. o x y 则半圆方程为 h R 设经过 t 秒容器内水深为h , 则h = h(t). 机动 目录 上页 下页 返回 结束