《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章微分方程_第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节常系数非齐次线性微分方程 一、定义 二、f)=ex P)型 三、fx)=er[Px)coso+Pnx)sin@x]型 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、定义 二、f(x) = ex Pm(x) 型 三、f (x) = e x [Pl (x)cosx+Pn (x)sinx ]型

第八节常系数非齐次线性微分方程 定义 定义形如 y”+py'+y=f)(D,q是常数) 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其通解的结构为 非齐通=齐通+非齐特 本节将要讨论的问题是：当f)是某些特殊类型的 函数时，如何快速求出特解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、 定义 定义 形如 y + py + qy = f (x) (p , q 是常数) 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 其通解的结构为 非齐通 = 齐通 + 非齐特. 本节将要讨论的问题是：当 f (x) 是某些特殊类型的 函数时，如何快速求出特解

第八节常系数非齐次线性微分方程 二、fc)=eix p)型 y"+py'+qy=eax Pm(x). 设方程的特解为y=Qx)ex.将 y*=e(x)ekx y'=ex[2c)+Q'c)川， y*"=e2x[22Qx)+222'x)+2"x)】, 代入方程，并消去ex,得 2")+(22+p)2'c)+(22+p2+q)2x)=Pmc). 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 二、 f (x) = ex Pm(x) 型 y + py + qy = e x Pm(x). 设方程的特解为 y * = Q(x)ex . 将 y * = Q(x)ex ， y * = ex [Q(x) + Q(x)] ， y * = ex [ 2Q(x) + 2Q(x) + Q(x)] ， 代入方程，并消去e x ，得 Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x)

第八节常系数非齐次线性微分方程 2"x)+(22+p)Q'x)+(22+p2+q)2x)=Pmc) 1.当入不是特征根时，22+p入+q≠0，使上式成立 Q)应是m次多项式，故特解的形式为 y*=em(x)eix. 2.当2是特征方程的单根时，22+p2+q=0,而 22+p≠0，使上式成立Qx)应是m+1次多项式，故特 解的形式为 y"=xem(x)e4x 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x) 1. 当  不是特征根时， 2 + p + q  0，使上式成立 Q(x) 应是 m 次多项式，故特解的形式为 y * = Qm(x)ex . 2. 当  是特征方程的单根时， 2 + p + q = 0，而 2 + p  0，使上式成立Q(x) 应是 m + 1 次多项式，故特 解的形式为 y * = xQm(x)ex

第八节常系数非齐次线性微分方程 Q"c)+(2+p)Q')+(22+p2+q)2c)=Pmc) 3.当2是特征方程的重根时，2+p2+q=0,且 22+p=0,使上式成立Qx)应是m+2次多项式，故特 解的形式为 y*=x2Cm(x)eax. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 3. 当  是特征方程的重根时， 2 + p + q = 0，且 2 + p = 0，使上式成立Q(x) 应是 m + 2 次多项式，故特 解的形式为 y * = x 2Qm(x)ex . Q(x) + (2 + p)Q(x) + ( 2 + p + q)Q(x) = Pm(x)

第八节常系数非齐次线性微分方程 综上所述，有以下结论： 方程 y"+py'+gy eax pm(x) 具有形如 y*=xke (x)eax 的特解，其中k按2不是特征方程22+p入+q=0的根 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 综上所述，有以下结论： 方程 y + py + qy = e x Pm(x) 具有形如 y * = x kQm(x)ex 的特解，其中 k 按  不是特征方程  2 + p + q = 0 的根 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0, 1 或 2

第八节常系数非齐次线性微分方程 例1求微分方程y”+4y+3y=x的一个特解。 解 例2求微分方程y”-4y+4y=(6x-2)e2x的通解。 解 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 例1 求微分方程 y + 4y + 3y = x 的一个特解. 第八节 常系数非齐次线性微分方程 解 在这里 f (x) = x = xe 0x ， r 2 + 4r + 3 = 0 , 故应设特解为 把它代入方程，得 3b0 x + 4b0 + 3b1 = x , 例1 求微分方程 y + 4y + 3y = x 的一个特解. 即 Pm(x) = x ,  = 0 . 而特征方程为 可知  = 0 不是特征根， y * = b0 x + b1 . 比较两边同次幂的系数，得    + = = 4 3 0 3 1 0 1 0 b b b 解之得 , 9 4 , 3 1 b0 = b1 = − 于是求得一个特解为 . 9 4 3 * 1 y = x − 例2 求微分方程 y – 4y + 4y = (6x – 2)e2x 的通解. 第八节 常系数非齐次线性微分方程 解 例2 求微分方程 y – 4y + 4y = (6x – 2)e2x 的通解. 所给方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 – 4r + 4 = 0 , 特征根为 r1 = r2 = 2 . 故对应的齐次方程的通解为 Y = (C1 + C2 x)e2x . 因为  = 2 是特征根，故特解应设为 y * = x 2 (b0 x + b1 )e2x . 代入原方程，得 6b0 x + 2b1 = 6x – 2

第八节常系数非齐次线性微分方程 三、f)≡e[Pe)COSax+-Pe)sinax]型 应用欧拉公式，把fx)写成复指数的形式 f(x)=e[P(x)cosox+P(x)sin ax] e eiox-e-ior 2 2i 4,4e-[40. (A-i@)x 2-21 e =P(x)e(ti)*+P(x)e(4-io) 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 三、f (x) = ex [Pl (x)cosx+Pn (x)sinx ]型 应用欧拉公式，把 f (x) 写成复指数的形式. f (x) e [P(x) cos x P (x)sin x] l n x    = +       − + + = − − 2i e e ( ) 2 e e e ( ) i i i x i x n x x l x P x P x      Pl x Pn x ( i ) x Pl x Pn x ( i ) x e 2i ( ) 2 ( ) e 2i ( ) 2 ( ) +  −        + −       = + ( )e ( )e , ( i )x ( i ) x P x P x +  −  = +

第八节常系数非齐次线性微分方程 f(x)=P(x)e(4tiox+P(x)e(a-io) 其中 P(x)=(B() 2 2 P(x)=P()+i() 2 2 是互为共轭的m次复系数多项式，m=max{l,m}. 由前面的讨论知，方程y”+py+g心=P(x)ea+iox 有特解 y=xke (x)e(itio) 其中k当+io不是特征方的根时取0，否则取1， 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 x x f x P x P x ( i ) ( i ) ( ) ( )e ( )e +  −  = + 其中 2 ( ) i 2 ( ) ( ) , 2 ( ) i 2 ( ) ( ) P x P x P x P x P x P x l n l n = + = − 是互为共轭的 m 次复系数多项式，m = max{l , n} . 由前面的讨论知，方程 x y py qy P x ( i ) ( )e +  + + = 有特解 ( )e , * ( i ) 1 x m k y x Q x +  = 其中 k 当 +i 不是特征方的根时取0，否则取1

第八节常系数非齐次线性微分方程 f(x)=P(x)e(ati)+P(x)e(a-io)y=xe(xe(i) 因为P(x)ea+ox与P(x)e-iox互为共轭函数， 所以y=xQm(x)e+iox的共轭函数y2=x⑨n(x)ea-ior 必然是方程 y"+py'+qy=P(x)e(4-io)x 的特解。由叠加原理知 y=+=xke (x)e(ti)+x (x)e(a-i) 是所给方程的特解. 上页 下页 返回 MathGS 公式 线与面 数学家

第八节 常系数非齐次线性微分方程 x x f x P x P x ( i ) ( i ) ( ) ( )e ( )e +  −  = + x m k y x Q x * ( i ) 1 ( )e +  = 因为 x P x ( i ) ( )e +  与 x P x ( i ) ( )e −  互为共轭函数， 所以 x m k y x Q x * ( i ) 1 ( )e +  = 的共轭函数 x m k y x Q x * ( i ) 2 ( )e −  = 必然是方程 x y py qy P x ( i ) ( )e −  + + = 的特解. 由叠加原理知 x m x k m k y y y x Q x x Q x * ( i ) ( i ) 2 * 1 * ( )e ( )e +  −  = + = + 是所给方程的特解